第2章信息在計算機中的表示第2章信息在計算機中的表示 

       信息表示是計算機科學(xué)中的基礎(chǔ)理論，通過對本章的學(xué)習(xí)，我們可以了解到計算機科學(xué)中的常用數(shù)制及其相互之間的轉(zhuǎn)換，以及字符、數(shù)字、圖像、聲音等各種豐富多彩的外部信息在計算機中的表示方法。2.1數(shù)字技術(shù)基礎(chǔ)數(shù)字技術(shù)是采用0和1兩個數(shù)字來表示、處理、存儲和傳輸信息的技術(shù)。采用數(shù)字技術(shù)實現(xiàn)信息系統(tǒng)，這是電子信息技術(shù)的發(fā)展趨勢。2.1.1信息的基本單位1. 比特比特是計算機和其他數(shù)字系統(tǒng)處理、存儲和傳輸信息的最小單位，一般用小寫字母b表示。其英文為bit，是binary digit的縮寫，中文譯為二進(jìn)位數(shù)字或二進(jìn)制，簡稱“位”。比特只有數(shù)字0或者數(shù)字1兩種取值狀態(tài)。字節(jié)用大寫字母B來表示，每字節(jié)包含8比特。比特在不同的場合有不同的含義：有時候用它來表示數(shù)值，有時候用它來表示文字和符號，有時候用它來表示圖像，有時候用它來表示聲音。2. 比特的存儲存儲1比特需要使用具有兩種穩(wěn)定狀態(tài)的設(shè)備，例如開關(guān)、繼電器、燈泡等。在計算機數(shù)字系統(tǒng)中，比特的存儲經(jīng)常使用一種稱為觸發(fā)器的雙穩(wěn)態(tài)電路來完成。觸發(fā)器有兩個穩(wěn)定狀態(tài)，可分別用來表示0和1，在輸入信號的作用下，它可以記錄1比特。在計算機信息處理系統(tǒng)中，使用各種不同類型的存儲器來存儲二進(jìn)制信息時，存儲容量的度量單位要比字節(jié)大得多，經(jīng)常使用的單位有以下幾個。（1） 在計算機內(nèi)存儲器中使用2的n次冪來計算。千字節(jié)（KB），1 KB=210 B=1024 B兆字節(jié)（MB），1 MB=220 B=1024 KB吉字節(jié)（GB），1 GB=230 B=1024 MB太字節(jié)（TB），1 TB=240 B=1024 GB（2） 計算機外存儲器容量經(jīng)常使用10的n次冪來計算。1 MB=103 KB=1 000 KB1 GB=106 KB=1 000 000 KB1 TB=109 KB=1 000 000 000 KB3. 比特的傳輸在數(shù)據(jù)通信和計算機網(wǎng)絡(luò)中傳輸二進(jìn)位信息時，是一位一位串行傳輸?shù)�，傳輸單位是比�?秒。經(jīng)常使用的傳輸速率單位有比特/秒（b/s，也寫為bps）、千比特/秒（Kb/s）、兆比特/秒（Mb/s）、吉比特/秒（Gb/s）、太比特/秒（Tb/s）。4. 進(jìn)位計數(shù)制數(shù)制也稱進(jìn)位計數(shù)制，是指用一組固定的符號和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)制的方法。在日常生活中，我們習(xí)慣使用十進(jìn)制數(shù)，但是計算機在存儲、處理和傳輸數(shù)據(jù)時使用的是二進(jìn)制數(shù)，程序員還習(xí)慣使用八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)，這些數(shù)制的特點很相似，都是按進(jìn)位的方式進(jìn)行計數(shù)，不同位上的數(shù)碼表示不同的值。某數(shù)制的基數(shù)是指該數(shù)制中允許選用的基本數(shù)碼的個數(shù)。權(quán)值是指一個數(shù)碼處在數(shù)的不同位置時，它所代表的數(shù)值是不同的。每個數(shù)碼所表示的數(shù)值等于該數(shù)碼乘以一個與數(shù)碼所在位置有關(guān)的常數(shù)（即權(quán)值）。對于任何一種進(jìn)制數(shù)都可以寫成按其權(quán)展開的多項式之和，即任何一個有n位整數(shù)m位小數(shù)的r進(jìn)制數(shù)N可表示為：N=an-1×rn-1+an-2×rn-2+…+a1×r1+a0×r0+a-1×r-1+…+a-m×r-m 

=∑n-1i=-mairi 

其中，ai是數(shù)碼，r是基數(shù)，ri是權(quán)值。十進(jìn)制數(shù)，基數(shù)是10，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數(shù)碼，進(jìn)位方式為逢十進(jìn)一，權(quán)值為10i。標(biāo)志：尾部加D或缺省。【例2.1】把3568.475D寫成按其權(quán)值展開的多項式之和。           3568.475D=3×103+5×102+6×101+8×100+4×10-1+7×10-2+5×10-3二進(jìn)制數(shù)，基數(shù)是2，有0和1兩個數(shù)碼，進(jìn)位方式為逢二進(jìn)一，基數(shù)是2，權(quán)值是2i。標(biāo)志：尾部加B�！纠�2.2】把101010110.11B寫成按其權(quán)展開的多項式之和。101010110.11B=1×28+0×27+1×26+0×25+1×24+0×23 

+1×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2八進(jìn)制數(shù)，基數(shù)是8，有0、1、2、3、4、5、6、7八個數(shù)碼，進(jìn)位方式為逢八進(jìn)一，權(quán)值為8i。標(biāo)志：尾部加Q。【例2.3】把3561.475Q寫成按其權(quán)展開的多項式之和。3561.475Q=3×83+5×82+6×81+1×80+4×8-1+7×8-2+5×8-3十六進(jìn)制數(shù)，基數(shù)是16，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六個數(shù)碼，進(jìn)位方式為逢十六進(jìn)一，權(quán)值為16i。標(biāo)志：尾部加H�！纠�2.4】把A6D.4E5H寫成按其權(quán)展開的多項式之和。A6D.4E5H=10×162+6×161+13×160+4×16-1+14×16-2+5×16-35. 二進(jìn)制的運算1） 算術(shù)運算（1） 加法，對于多位二進(jìn)制數(shù)，加法運算是對每一位進(jìn)行加法運算。一位二進(jìn)制數(shù)加法運算規(guī)則如表2��1所示。 

        表2��1加法運算規(guī)則 

       被加數(shù)加數(shù)進(jìn)位和0000010110011110【例2.5】求1011111.1B+1001.1101B。解1011111.1000B+1001.1101B 1101001.0101B所以,1011111.1B+1001.1101B=1101001.0101B（2） 減法，對于多位二進(jìn)制數(shù)，減法運算是對每一位進(jìn)行 減法運算。一位二進(jìn)制數(shù)減法運算規(guī)則如表2��2所示。 

        表2��2減法運算規(guī)則 

        被減數(shù)減數(shù)借位差0000011110011100【例2.6】求1011.101B-0101.111B。解1011.101 B-0101.111 B 0101.110 B所以,1011.101B-0101.111B=0101.110B（3） 乘法，對于多位二進(jìn)制數(shù)，乘法運算是對每一位進(jìn)行乘法運算。一位二進(jìn)制數(shù)乘法運算規(guī)則如表2��3所示。 

       表2��3乘法運算規(guī)則 

       被乘數(shù)乘數(shù)積000010100111【例2.7】求110 B×101 B。解110 B ×101 B 110 B 000 B+110 B 11110 B所以,110 B×101 B=11110 B2） 基本邏輯運算在計算機中，除了有能表示正負(fù)、大小的“數(shù)量數(shù)”及相應(yīng)的加、減、乘、除等基本算術(shù)運算外，還有用于表示事物邏輯判斷即“真”與“假”、“是”與“非”等的“邏輯數(shù)”，并把能表示這種數(shù)的變量稱為邏輯變量。相應(yīng)的有邏輯加（“或”運算）、邏輯乘（“與”運算）和邏輯非（“非”運算）等基本邏輯運算。（1） 邏輯與運算邏輯與運算符為“∧”或“· ”。對于多位二進(jìn)制數(shù)，其邏輯與運算即對每一位求邏輯與。1位二進(jìn)制數(shù)的邏輯與運算規(guī)則如表2��4所示。 

       表2��4邏輯與運算規(guī)則 

       ABA∧B000010100111【例2.9】設(shè)A=11100111 B，B=10110110 B，求A∧B。解11100111 B∧10110110 B 10100110 B（2） 邏輯或運算邏輯或運算符為“∨”或“+”。對于多位二進(jìn)制數(shù)，其邏輯或運算即對每一位求邏輯或。1位二進(jìn)制數(shù)的邏輯或運算規(guī)則如表2��5所示。 

        表2��5邏輯或運算規(guī)則 

        ABA∨B000011101111【例2.10】設(shè)A=10110101 B，B=01110011 B，求A∨B。解10110101 B∨01110011 B 11110111 B（3） 邏輯非運算對于多位二進(jìn)制數(shù)，其邏輯非運算即對每一位求邏輯非。1位二進(jìn)制數(shù)的邏輯非運算規(guī)則如表2��6所示。 

       表2��6邏輯非運算規(guī)則 

       AA0110【例2.11】設(shè)A=1010101 B，B=010011 B，求A-、B-。解答案分別是：0101010 B與101100 B。3） 移位運算(1) 對于無符號的二進(jìn)制數(shù)的移位運算。向左邊移1位，最右邊補0。效果相當(dāng)于乘以2。如：00000001B，向左移1位，最左邊移出去，最右邊補充0，變成00000010B，即它由1變成了2。向右邊移1位，最右邊移出去，最左邊補0，效果相當(dāng)于除以2取整。如：00000011B，向右移1位，最右邊移出去，最左邊補充0，變成00000001B，即它由3變成了1。（2） 對于有符號的二進(jìn)制數(shù)的移位運算。向左邊移1位（最左邊符號位移出去了），最右邊補0。效果相當(dāng)于乘以2。如：00000001B，向左移1位，最左邊移出去，最右邊補充0，變成00000010B,即它由1變成了2。向右邊移1位，最右邊移出去，最左邊補原來的符號位，效果相當(dāng)于除以2取整。如：00000011B，向右移1位，最右邊移出去，最左邊補充0，變成00000001B，即它由3變成了1。又如：11111100B，向右移1位，最右邊移出去，最左邊補充1，變成11111110B，即它由-4變成了-2。2.1.2不同進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換1. r進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換1） r進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)采用位權(quán)展開法，將r進(jìn)制數(shù)的每一位乘以其對應(yīng)的權(quán)值后累加�！纠�2.12】分別將101010110.11B、561.7Q、A6D.5H各進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。101010110.11B=1×28+0×27+1×26+0×25+1×24+0×23+1×22 

+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2 

=211.75561.7Q=5×82+6×81+1×80+7×8-1=369.875A6D.5H=10×162+6×161+13×160+5×16-1=2 669.312 52） 十進(jìn) 制數(shù)轉(zhuǎn)換為r進(jìn)制數(shù)的規(guī)則（1） 整數(shù)部分，除以r，逆序取余法。（2） 小數(shù)部分，乘以r，順序取整法。【例2.13】把十進(jìn)制數(shù)28.75轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。28.75D=11100.11B 

需要注意的是，十進(jìn)制小數(shù)（如0.33）在轉(zhuǎn)換時有可能會出現(xiàn)二進(jìn)制無窮小數(shù)，這時只能取近似值。2. 八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換各進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如表2��7所示。 

       表2��7各進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 

       十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制    00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F從表2��7可知，1位八進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于3位二進(jìn)制數(shù)。1） 八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的規(guī)則：將每位八進(jìn)制數(shù)用相應(yīng)的3位二進(jìn)制數(shù)取代，且保持高低位次序不變�！纠�2.14】把八進(jìn)制數(shù)2467.32Q轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。2467.32Q→010 100 110 111.011 010B2） 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)的規(guī)則為：整數(shù)部分從低位向高位方向每3位用一個等值的八進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足3位時在高位補0湊足3位；小數(shù)部分從高位向低位方向每3位用一個等值的八進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足3位時在低位補0湊足3位�！纠�2.15】把二進(jìn)制數(shù)1101001110.11001轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。1101001110.11001B=001 101 001 110.110 010B=1516.62Q同理從表2��7可知，1位十六進(jìn)制數(shù)相當(dāng)于4位二進(jìn)制數(shù)。3） 十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)的規(guī)則：將每位十六進(jìn)制數(shù)用相應(yīng)的4位二進(jìn)制數(shù)取代，且保持高低位次序不變�！纠�2.16】把十六進(jìn)制數(shù)35A2.CFH轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。35A2.CFH→0011 0101 1010 0010.1100 1111B4） 二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)的規(guī)則為：整數(shù)部分從低位向高位方向每4位用一個等值的十六進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足4位時在高位補0湊足4位；小數(shù)部分從高位向低位方向每4位用一個等值的十六進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足4位時在低位補0湊足4位�！纠�2.17】把二進(jìn)制數(shù)1101001110.1100111B轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。1101001110.1100111B→0011 0100 1110.1100 1110B→34E.CEH2.2信息在計算機中的表示計算機可以處理各種各樣的信息，包括數(shù)值、文字、圖像、圖形、聲音、視頻等。這些信息在計算機內(nèi)部都是采用二進(jìn)位來表示的。2.2.1數(shù)值信息在計算機中的表示數(shù)值信息指的是數(shù)學(xué)中的代數(shù)值，具有量的含義，且有正負(fù)、整數(shù)和小數(shù)之分。計算機中的數(shù)值信息分成整數(shù)和實數(shù)兩大類。它們都是用二進(jìn)制表示的，但表示方法有很大差別。1. 整數(shù)的表示整數(shù)也稱定點數(shù)，不使用小數(shù)點，或者說小數(shù)點始終隱含在個位數(shù)的右邊，所以整數(shù)也稱為定點數(shù)。整數(shù)又可以分為兩類：不帶符號的整數(shù)（unsigned integer，也稱無符號整數(shù)），這類整數(shù)一定是正整數(shù)；帶符號的整數(shù)（signed integer），既可表示正整數(shù)，又可表示負(fù)整數(shù)。1） 無符號整數(shù)這類整數(shù)常用于表示地址、索引等，它們可以是1字節(jié)、2字節(jié)、4字節(jié)、8字節(jié)甚至更多。1字節(jié)表示的無符號整數(shù)的取值范圍為0~255（即28-1），2字節(jié)表示的無符號整數(shù)其取值范圍為0~65 535（即216-1）。2） 帶符號整數(shù)在計算機中，用最高位（最左邊一位）來表示符號位，用0表示正號，用1表示負(fù)號，其余各位表示數(shù)值。帶符號整數(shù)的數(shù)值部分在計算機中有以下三種表示方法。（1） 原碼表示法，最高位為符號位，其余位表示數(shù)值的大小，這種表示方法與日常使用的十進(jìn)制表示方法一致，比較簡單、直觀；但是對于減法來說運算比較煩瑣，不便于CPU的運算處理，而且0有+0（00000000）和-0（10000000）。（2） 反碼表示法，規(guī)定正整數(shù)的反碼與其原碼相同；負(fù)整數(shù)的反碼是除了符號位，其他數(shù)值部分由原碼的每一位取反而形成。在一個字節(jié)中帶符號的整數(shù)用原碼或反碼來表示，其取值范圍為-127（即-27+1）至127（即27-1）。（3） 補碼表示法，規(guī)定正整數(shù)的補碼與其原碼相同；負(fù)整數(shù)的補碼是在其反碼的末位加1。使用補碼表示法來表示數(shù)據(jù)能夠統(tǒng)一加法與減法的運算規(guī)則，而且用補碼來表示帶符號整數(shù)時，只有一個0，所以補碼比原碼或反碼能多表示一個數(shù)值。在一個字節(jié)中帶符號整數(shù)用補碼來表示，其取值范圍為 -128（即-27）至127（即27-1）。目前計算機內(nèi)一般采用補碼的形式來表示整數(shù)�！纠�2.18】+56和-56在一個字節(jié)中分別用原碼、反碼、補碼來表示，如表2��8所示。