目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 緒論 1
1.1 計(jì)算機(jī)數(shù)值方法概述 1
1.1.1 數(shù)值計(jì)算方法的概念與任務(wù) 1
1.1.2 數(shù)值計(jì)算問題的解題過程與步驟 3
1.1.3 本課程的內(nèi)容與數(shù)值算法的特點(diǎn) 4
1.2 誤差、有效數(shù)字與機(jī)器數(shù)系 6
1.2.1 誤差的概念與來源 6
1.2.2 有效數(shù)字與機(jī)器數(shù)系 7
1.2.3 舍入誤差的產(chǎn)生 11
1.3 誤差傳播與防范 12
1.3.1 誤差的傳播 13
1.3.2 防止“大數(shù)吃小數(shù)” 14
1.3.3 避免絕對值相近的數(shù)作減法 15
1.3.4 避免0或接近0的數(shù)作除數(shù) 16
1.3.5 避免絕對值很大的數(shù)作乘數(shù) 16
1.3.6 簡化計(jì)算公式，減少計(jì)算量 17
1.3.7 設(shè)計(jì)穩(wěn)定的算法 17
1.3.8 精度丟失定理 19
習(xí)題1 20
第2章 插值法 22
2.1 插值問題 22
2.1.1 基本概念 22
2.1.2 插值多項(xiàng)式的存在唯一性 22
2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 23
2.2.1 Lagrange插值多項(xiàng)式 23
2.2.2 插值余項(xiàng) 25
2.3 差商與牛頓(Newton)插值 28
2.3.1 差商的定義和性質(zhì) 28
2.3.2 Newton插值公式 30
2.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值 33
2.4.1 差分及其性質(zhì) 33
2.4.2 等距節(jié)點(diǎn)插值公式 34
2.5 埃爾米特(Hermite)插值 36
2.6 三次樣條插值 40
2.6.1 多項(xiàng)式插值的缺陷與分段插值 40
2.6.2 三次樣條插值函數(shù) 41
2.6.3 三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造方法 42
2.6.4 兩點(diǎn)說明 48
習(xí)題2 49
第3章 線性方程組的直接解法 52
3.1 引言 52
3.2 Gauss消元法 53
3.2.1 三角形方程組的解法 53
3.2.2 預(yù)備知識 54
3.2.3 Gauss消元法 55
3.2.4 Gauss消元法的計(jì)算量 58
3.2.5 Gauss消元法的條件 59
3.2.6 列主元消元法 61
3.2.7 全主元消元法 63
3.3 Gauss-Jordan消元法與矩陣求逆 64
3.3.1 Gauss-Jordan消元法 64
3.3.2 用Gauss-Jordan消元法求逆矩陣 67
3.4 矩陣分解 69
3.4.1 Gauss消元法的矩陣解釋 69
3.4.2 Doolittle分解 71
3.4.3 方程組的求解舉例 75
3.4.4 正定陣的Doolittle分解 77
3.4.5 Cholesky分解與平方根法 79
3.4.6 LDLT分解與改進(jìn)的平方根法 82
3.4.7 帶列主元的三角分解 83
3.5 追趕法 89
3.6 向量范數(shù) 93
3.6.1 向量范數(shù)定義 93
3.6.2 向量范數(shù)等價(jià)性與一致連續(xù)性 95
3.7 矩陣范數(shù) 98
3.7.1 方陣的范數(shù) 98
3.7.2 m×n階矩陣的范數(shù) 105
3.8 條件數(shù)與方程組的誤差分析 106
3.8.1 病態(tài)方程組與條件數(shù) 106
3.8.2 方程組的攝動(dòng)分析 109
3.8.3 Gauss消元法的浮點(diǎn)誤差分析 112
3.8.4 方程組的病態(tài)檢測與改善 114
習(xí)題3 117
第4章 方程求根 120
4.1 方程根的存在、唯一性與有根區(qū)間 120
4.1.1 方程根的存在與唯一性 121
4.1.2 有根區(qū)間的確定方法 121
4.2 二分法 123
4.3 Picard迭代法與收斂性 126
4.3.1 Picard迭代格式的收斂性 128
4.3.2 Picard迭代法斂散性的幾何解釋 130
4.3.3 Picard迭代法的局部收斂性和誤差估計(jì) 132
4.3.4 Picard迭代的收斂速度與漸近誤差估計(jì) 135
4.4 Newton-Raphson迭代法 137
4.4.1 Newton-Raphson迭代法的構(gòu)造 137
4.4.2 Newton法的大范圍收斂性 138
4.4.3 Newton法的局部收斂性 141
4.4.4 Newton法的改進(jìn) 142
4.4.5 求非線性方程組的Newton法 143
4.5 割線法 144
4.6 代數(shù)方程求根 146
4.6.1 秦九韶算法 147
4.6.2 秦九韶算法在導(dǎo)數(shù)求值中的應(yīng)用 148
4.6.3 代數(shù)方程的Newton法 149
4.6.4 劈因子法 150
4.7 加速方法 154
4.7.1 Aitken加速法 154
4.7.2 Steffensen迭代法 155
4.7.3 其他加速技巧 156
習(xí)題4 157
第5章 線性方程組的迭代解法 159
5.1 迭代法的構(gòu)造 159
5.1.1 Jacobi迭代法的構(gòu)造 160
5.1.2 Gauss-Seidel迭代法的構(gòu)造 162
5.2 迭代法的收斂性 165
5.2.1 一階定常迭代法的收斂性 166
5.2.2 Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法收斂性的判定 171
5.2.3 迭代法的收斂速度 176
5.3 逐次超松弛迭代法(SOR方法) 176
5.3.1 SOR迭代的構(gòu)造 177
5.3.2 SOR方法的收斂性 178
5.3.3 相容次序與最佳松弛因子的選擇 181
習(xí)題5 183
第6章 近似理論 185
6.1 矩陣的廣義逆 185
6.1.1 Moore-Penrose廣義逆 185
6.1.2 廣義逆的性質(zhì) 188
6.2 方程組的最小二乘解 190
6.2.1 方程組的最小二乘解 190
6.2.2 方程組的極小最小二乘解 193
6.3 矩陣的正交分解與方程組的最小二乘解 195
6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法 195
6.3.2 矩陣正交分解在求極小最小二乘解中的應(yīng)用 199
6.3.3 Householder變換 201
6.3.4 Householder變換在矩陣正交分解中的應(yīng)用 203
6.4 矩陣的奇異值分解 208
6.5 數(shù)據(jù)擬合 214
6.6 正交多項(xiàng)式 218
6.6.1 正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì) 218
6.6.2 Chebyshev多項(xiàng)式 220
6.6.3 Chebyshev正交多項(xiàng)式的應(yīng)用 223
6.6.4 其他正交多項(xiàng)式 230
6.7 線性最小二乘問題 230
6.8 正交多項(xiàng)式在數(shù)據(jù)擬合中的應(yīng)用 235
6.9 函數(shù)逼近 238
6.9.1 最佳平方逼近 240
6.9.2 最佳一致逼近 245
習(xí)題6 248
第7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 251
7.1 插值型數(shù)值積分公式 251
7.1.1 中矩形公式和梯形公式 251
7.1.2 插值型求積公式 253
7.1.3 求積公式的代數(shù)精確度 254
7.2 Newton-Cotes(牛頓-科茨)型求積公式 256
7.2.1 Newton-Cotes型求積公式的導(dǎo)出 256
7.2.2 幾種低階求積公式的余項(xiàng) 260
7.3 復(fù)化求積法 261
7.4 龍貝格(Romberg)算法 264
7.4.1 區(qū)間逐次二分法 264
7.4.2 復(fù)化求積公式的階 266
7.4.3 Romberg算法 266
7.5 Gauss(高斯)型求積公式 270
7.5.1 基本概念 270
7.5.2 Gauss點(diǎn) 271
7.5.3 Gauss-Legendre(高斯-勒讓德)公式 272
7.5.4 穩(wěn)定性和收斂性 274
7.5.5 帶權(quán) Gauss公式 275
7.6 數(shù)值微分 277
7.6.1 插值型求導(dǎo)公式 277
7.6.2 三次樣條插值求導(dǎo) 280
習(xí)題7 281
第8章 常微分方程數(shù)值解法 283
8.1 常微分方程初值問題 283
8.1.1 常微分方程(組)初值問題的提法與解的存在性 283
8.1.2 常微分方程的離散化 285
8.1.3 基本概念 286
8.1.4 Euler 顯式格式的幾何解釋 287
8.1.5 誤差與差分格式的階 288
8.2 Runge-Kutta(龍格-庫塔)法 291
8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想 291
8.2.2 四級四階Runge-Kutta法 293
8.2.3 步長的選取 294
8.3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 296
8.3.1 收斂性的概念 296
8.3.2 Euler顯式格式的收斂性 297
8.3.3 一般單步法的收斂性 299
8.3.4 單步法的穩(wěn)定性 302
8.4 線性多步法 304
8.4.1 Adams外推法 305
8.4.2 Adams內(nèi)插法 307
8.4.3 Adams預(yù)報(bào)-校正格式 308
8.5 常微分方程組與邊值問題的數(shù)值解法 309
8.5.1 一階方程組 309
8.5.2 高階方程的初值問題 310
8.5.3 邊值問題的差分解法 310
習(xí)題8 312
第9章 矩陣特征值與特征向量的冪法計(jì)算 314
9.1 冪法 314
9.1.1 冪法 314
9.1.2 規(guī)范化冪法 319
9.2 冪法的加速與反冪法 321
9.2.1 原點(diǎn)平移法 321？
9.2.2 Rayleigh商加速法 323
9.2.3 反冪法 324
9.3 實(shí)對稱矩陣的Jacobi(雅可比)方法 326
9.3.1 預(yù)備知識 326
9.3.2 Givens平面旋轉(zhuǎn)變換與二階方陣的對角化 327
9.3.3 實(shí)對稱矩陣的Jacobi方法 328
9.3.4 Jacobi方法的收斂性 330
9.3.5 Jacobi過關(guān)法 331
9.4 QR方法 332
9.4.1 基本的QR方法 332
9.4.2 帶原點(diǎn)平移的QR方法 337
習(xí)題9 338
第10章 線性規(guī)劃 340
10.1 線性規(guī)劃問題與其對偶問題 340
10.1.1 線性規(guī)劃模型 340
10.1.2 對偶 345
10.2 線性規(guī)劃的基本定理 347
10.2.1 LP問題可行域 347
10.2.2 LP問題的解 349
10.2.3 線性規(guī)劃的基本定理 350
10.2.4 圖解法 354
10.3 單純形法 356
10.3.1 單純形法 356
10.3.2 初始可行解的確定 364
10.4 矛盾方程組的近似解 365
10.4.1 e1-問題 365
10.4.2 e∞-問題 368
習(xí)題10 370
參考文獻(xiàn) 374
附錄 上機(jī)實(shí)習(xí)課題 375
1.1 誤差分析與控制 375
1.2 插值問題 375
1.3 矩陣條件數(shù)的估計(jì) 376
1.4 方程求根 377
1.5 線性方程組求解 377
1.6 曲線擬合問題 378
1.7 數(shù)值積分 379
1.8 常微分方程初(邊)值問題 379
1.9 矩陣的特征值與特征向量 381
1.10 線性規(guī)劃 381