本教材分為上、下兩冊(cè).上冊(cè)內(nèi)容包括函數(shù)、數(shù)列及其極限、函數(shù)的極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理及其應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、常微分方程.下冊(cè)內(nèi)容包括向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級(jí)數(shù).每節(jié)后都配有思考題、A類題和B類題,習(xí)題選配典型多樣,難度層次分明.該課程基于學(xué)生的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ),引入高等數(shù)學(xué)的理念、思想和方法,提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問題的能力.
本教材可以作為高等學(xué)校理科、工科和技術(shù)學(xué)科等非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教材,也可作為相關(guān)人員的參考書.
前言
高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校的一門重要基礎(chǔ)課程,更是理工科學(xué)生接受高等教育不可或缺的一部分.已獲得公眾認(rèn)知的是:
高等數(shù)學(xué)不僅為理工科學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程提供所必需的數(shù)學(xué)知識(shí),而且為工程技術(shù)人員處理科學(xué)問題提供必要的理論依據(jù).高等數(shù)學(xué)不僅僅是一門科學(xué),更重要的是,它通過分析、歸納、推理等各項(xiàng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的訓(xùn)練,能夠使學(xué)生具備理性思維能力、邏輯推理能力以及綜合判斷能力.
為了適應(yīng)高等教育的發(fā)展,順利完成精英化教育向大眾化教育的轉(zhuǎn)型,本著以人為本、因材施教、夯實(shí)基礎(chǔ)、創(chuàng)新應(yīng)用的指導(dǎo)思想,大連民族大學(xué)理學(xué)院組織了具有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的一線教師編寫本教材.
本書以教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)制定的工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求為依據(jù),在知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面與基本要求相一致的基礎(chǔ)上,對(duì)課程內(nèi)容體系進(jìn)行了整體優(yōu)化,強(qiáng)化了高等數(shù)學(xué)與后續(xù)專業(yè)課程的聯(lián)系,使之更側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)能力和應(yīng)用能力,以適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型、復(fù)合型本科人才的培養(yǎng)目標(biāo).與傳統(tǒng)教材相比,我們?cè)诰帉憰r(shí)特別注意了以下三個(gè)方面:
1. 在知識(shí)體系的編排上,突出基礎(chǔ)的重要地位.對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)膬?yōu)化和調(diào)整,減少課程內(nèi)容的重復(fù)講授.例如,在傳統(tǒng)教材中,函數(shù)和數(shù)列極限是幾乎被忽略的內(nèi)容,只用很少的篇幅進(jìn)行介紹,并且在授課時(shí)也只是泛泛講解,這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是非常不利的.一方面,函數(shù)是微積分的研究對(duì)象,極限是微積分的研究工具,淡化了這些基礎(chǔ)內(nèi)容,不利于學(xué)生完成從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的思維方式的跨越;
另一方面,學(xué)生從高考結(jié)束到進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí),空閑了至少2個(gè)月的時(shí)間,淡化了這些內(nèi)容,對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的內(nèi)容影響很大.本書中,我們將函數(shù)和數(shù)列極限分別作為一章講述,將定積分及定積分的應(yīng)用合并成一章.由于定積分在物理方面的應(yīng)用與大學(xué)物理課程的內(nèi)容重復(fù),故將其刪去.為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握,將常微分方程一章中的所有應(yīng)用題放到單獨(dú)一節(jié)講授.
2. 在課程內(nèi)容的編寫上,注重知識(shí)點(diǎn)的使用方法和技巧.在給出重要的定義和定理時(shí),對(duì)其進(jìn)行必要的說明,指出了在使用定義和定理解決相關(guān)問題時(shí)的誤區(qū),列舉了一些典型反例;
對(duì)典型例題進(jìn)行先分析提示,再引導(dǎo)求解,逐步使學(xué)生在學(xué)習(xí)規(guī)則時(shí),能夠正確理解并合理使用這些規(guī)則,做題時(shí)有理可依、有據(jù)可查.
3. 在例題、習(xí)題的選配上,注重不同的層次和類別.為了滿足不同專業(yè)、不同層次學(xué)生的需求,將例題分為三個(gè)層次.第一層次注重的是定義和定理,使學(xué)生能夠正確合理使用這些知識(shí)點(diǎn)解決一些基本問題;
第二層次注重的是數(shù)學(xué)的方法和技巧,使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)解決一些相對(duì)復(fù)雜的問題,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和計(jì)算能力;
第三層次注重的是應(yīng)用,使學(xué)生能夠綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決一些較為困難的問題,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).此外,對(duì)于同一類型題,我們選配了多個(gè)例題,教師可以有選擇地講授,其余的學(xué)生可以自學(xué).將習(xí)題分為A和B兩類,學(xué)生通過學(xué)習(xí)第一、第二層次的例題便可以解決A類題中的習(xí)題,而B類題的內(nèi)容相對(duì)復(fù)雜,求解較為困難,主要是為了滿足部分專業(yè)和部分考研的學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的實(shí)際需求.
本書在編寫過程中,各位參與編寫的教師能夠統(tǒng)一思想、團(tuán)結(jié)協(xié)作,歷經(jīng)了充分調(diào)研、反復(fù)論證、獨(dú)立撰寫、相互審閱、及時(shí)修補(bǔ)等環(huán)節(jié),使本書從初稿、統(tǒng)稿到定稿能夠分階段順利完成.其中,謝叢波編寫兩章;
焦佳編寫三章; 董麗編寫四章; 張文正編寫三章; 楚振艷編寫一章.謝叢波為本書繪制了圖形.最后由袁學(xué)剛和張友負(fù)責(zé)全書的統(tǒng)稿及修改定稿,并對(duì)各個(gè)章節(jié)及課后習(xí)題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男薷?
本書的順利出版,離不開大連民族大學(xué)各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心和支持,在此表示感謝.還要特別感謝清華大學(xué)出版社的劉穎編審,他對(duì)本書的初稿進(jìn)行了認(rèn)真的審閱,給予了具體的指導(dǎo),提出了寶貴的建議.本書在編寫過程中,參閱了大量的國(guó)內(nèi)外各種版本的同類教材,并借鑒了這些教材的一些經(jīng)典例題和習(xí)題,由于難以一一列舉出處,深感歉疚,只能在此一并表示由衷的謝意.
盡管我們投入了大量的精力,但由于水平有限,書中還會(huì)存在某些不足或錯(cuò)誤,懇請(qǐng)廣大同行、讀者批評(píng)指導(dǎo),以期進(jìn)一步修正和完善.
編者2017年11月
目錄CONTENTS
第1章向量代數(shù)與空間解析幾何
1.1空間直角坐標(biāo)系和向量
1.1.1空間直角坐標(biāo)系及空間中兩點(diǎn)間的距離
1.1.2向量的概念及其性質(zhì)
習(xí)題1.1
1.2向量的坐標(biāo)表示
1.2.1向量的坐標(biāo)分解
1.2.2向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.2.3向量的模和方向余弦的坐標(biāo)表示
習(xí)題1.2
1.3向量的數(shù)量積、向量積和混合積
1.3.1向量的數(shù)量積
1.3.2向量的向量積
1.3.3向量的混合積
習(xí)題1.3
1.4平面及其方程
1.4.1平面方程
1.4.2空間中點(diǎn)與平面的位置關(guān)系
1.4.3平面與平面的位置關(guān)系
習(xí)題1.4
1.5空間直線及其方程
1.5.1空間直線方程
1.5.2空間中直線間的位置關(guān)系
1.5.3直線與平面的位置關(guān)系
1.5.4平面束
習(xí)題1.5
1.6空間曲面、曲線及其方程
1.6.1空間曲面及其方程
1.6.2空間曲線及其方程
習(xí)題1.6
1.7幾類特殊的曲面及其方程
1.7.1母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程
1.7.2旋轉(zhuǎn)曲面
1.7.3二次曲面
1.7.4空間區(qū)域簡(jiǎn)圖
習(xí)題1.7
復(fù)習(xí)題1
第2章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用
2.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)
2.1.1平面點(diǎn)集及相關(guān)概念
2.1.2二元函數(shù)的概念
2.1.3二元函數(shù)的極限
2.1.4二元函數(shù)的連續(xù)性
2.1.5n元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)
習(xí)題2.1
2.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分
2.2.1偏導(dǎo)數(shù)及其計(jì)算方法
2.2.2全微分
2.2.3偏導(dǎo)數(shù)和全微分的幾何解釋
習(xí)題2.2
2.3多元復(fù)合函數(shù)的微分法
2.3.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
2.3.2全微分形式不變性
習(xí)題2.3
2.4隱函數(shù)求導(dǎo)法則
2.4.1一個(gè)方程的情形
2.4.2方程組的情形
習(xí)題2.4
2.5高階偏導(dǎo)數(shù)
習(xí)題2.5
2.6偏導(dǎo)數(shù)與全微分的應(yīng)用(Ⅰ)幾何應(yīng)用
2.6.1空間曲線的切線與法平面
2.6.2空間曲面的切平面與法線方程
習(xí)題2.6
2.7偏導(dǎo)數(shù)與全微分的應(yīng)用(Ⅱ)極值與最值
2.7.1二元函數(shù)的極值
2.7.2二元函數(shù)的最大值與最小值
2.7.3條件極值與拉格朗日乘數(shù)法
習(xí)題2.7
2.8偏導(dǎo)數(shù)與全微分的應(yīng)用(Ⅲ)方向?qū)?shù)和梯度
2.8.1方向?qū)?shù)
2.8.2梯度
習(xí)題2.8
復(fù)習(xí)題2
第3章重積分
3.1二重積分的概念與性質(zhì)
3.1.1引例
3.1.2二重積分的概念
3.1.3二重積分的幾何解釋
3.1.4二重積分的性質(zhì)
3.1.5二重積分的對(duì)稱性質(zhì)
習(xí)題3.1
3.2二重積分的計(jì)算方法
3.2.1直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算
3.2.2極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算
習(xí)題3.2
3.3三重積分的概念及計(jì)算
3.3.1引例
3.3.2三重積分的概念
3.3.3三重積分的對(duì)稱性質(zhì)
3.3.4空間直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法
3.3.5柱坐標(biāo)系中的計(jì)算方法
3.3.6球坐標(biāo)系中的計(jì)算方法
習(xí)題3.3
3.4重積分的應(yīng)用
3.4.1空間立體的體積
3.4.2曲面的面積
3.4.3質(zhì)心
3.4.4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
3.4.5引力
習(xí)題3.4
復(fù)習(xí)題3
第4章曲線積分與曲面積分
4.1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分
4.1.1基本概念及性質(zhì)
4.1.2對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算方法
習(xí)題4.1
4.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分
4.2.1基本概念及性質(zhì)
4.2.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法
習(xí)題4.2
4.3格林公式及其應(yīng)用
4.3.1格林公式
4.3.2平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件
習(xí)題4.3
4.4對(duì)面積的曲面積分
4.4.1基本概念及性質(zhì)
4.4.2對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法
習(xí)題4.4
4.5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分
4.5.1基本概念及性質(zhì)
4.5.2對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法
4.5.3兩類曲面積分之間的聯(lián)系
習(xí)題4.5
4.6高斯公式、通量與散度
4.6.1高斯公式
4.6.2高斯公式的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用
4.6.3通量與散度
習(xí)題4.6
4.7斯托克斯公式、環(huán)流量與旋度
4.7.1斯托克斯公式
4.7.2空間曲線與路徑無關(guān)的條件
4.7.3環(huán)流量與旋度
習(xí)題4.7
復(fù)習(xí)題4
第5章無窮級(jí)數(shù)
5.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(Ⅰ)基本概念與性質(zhì)
5.1.1引例
5.1.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念
5.1.3收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)
習(xí)題5.1
5.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(Ⅱ)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性
習(xí)題5.2
5.3常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(Ⅲ)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性
5.3.1交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性
5.3.2任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性
習(xí)題5.3
5.4函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(Ⅰ)冪級(jí)數(shù)
5.4.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念
5.4.2冪級(jí)數(shù)及其斂散性
5.4.3冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)
習(xí)題5.4
5.5函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(Ⅱ)泰勒級(jí)數(shù)
5.5.1泰勒級(jí)數(shù)
5.5.2函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
5.5.3應(yīng)用舉例
習(xí)題5.5
5.6函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(Ⅲ)傅里葉級(jí)數(shù)
5.6.1三角級(jí)數(shù)
5.6.2周期為2的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)
5.6.3正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)
5.6.4周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)
習(xí)題5.6
復(fù)習(xí)題5
習(xí)題答案及提示
參考文獻(xiàn)