本書對于常微分方程、單位分解、臨界點、拓撲度和流形上的微積分等研究微分幾何的各種工具做了相當充分的講解。內(nèi)容重點是曲面的局部和整體理論,對于曲面的局部和整體理論則做了比較全面的概述,而對于其詳盡的證明則推薦相關(guān)的文獻供讀者查閱。書中配備了豐富的習題。
隨著解析幾何及微積分的發(fā)明而興起的現(xiàn)代數(shù)學,在其發(fā)展過程中,一批卓越的法國數(shù)學家發(fā)揮了杰出的作用,作出了奠基性的貢獻。他們像燦爛的星斗發(fā)射著耀眼的光輝,在現(xiàn)代數(shù)學史上占據(jù)著不可替代的地位,在大學教科書、各種專著及種種數(shù)學史著作中都頻繁地出現(xiàn)著他們的英名。在他們當中,包括笛卡兒、費爾馬、巴斯卡、達朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、泊松、柯西、劉維爾、伽羅華、龐加萊、嘉當、勒貝格、魏伊、勒雷、施瓦爾茨及里翁斯等等這些耳熟能詳?shù)拿郑舶ㄒ恍┈F(xiàn)今仍然健在并繼續(xù)作出重要貢獻的著名數(shù)學家。由于他們的出色成就和深遠影響,法國的數(shù)學不僅具有深厚的根基和領(lǐng)先的水平,而且具有優(yōu)秀的傳統(tǒng)和獨特的風格,一直在國際數(shù)學界享有盛譽。
我國的現(xiàn)代數(shù)學,在20世紀初通過學習西方及日本才開始起步,并在艱難曲折中發(fā)展與成長,終能在2002年成功地在北京舉辦了國際數(shù)學家大會。在一個世紀的時間中基本上跟上了西方歷經(jīng)四個多世紀的現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的步伐、實現(xiàn)了跨越式的發(fā)展。這一巨大的成功,源于好幾代數(shù)學家持續(xù)不斷的艱苦奮斗,源于我們國家綜合國力的提高所給予的有力支撐,源于改革開放國策所帶來的強大推動,也源于很多國際數(shù)學界同仁的長期鼓勵、支持與幫助。在這當中,法蘭西數(shù)學精品長期以來對我國數(shù)學界所起的積極影響,法蘭西數(shù)學的深厚根基、無比活力和優(yōu)秀傳統(tǒng)對我國數(shù)學家所起的不可低估的潛移默化作用,無疑也是一個不容忽視的因素。足以證明這一點的是:在我國的數(shù)學家中,有不少就曾經(jīng)留學法國,直接受到法國數(shù)學家的栽培和法蘭西數(shù)學傳統(tǒng)和風格的薰陶與感召,而更多的人也或多或少地通過汲取法國數(shù)學精品的營養(yǎng)而逐步走向了自己的成熟與輝煌。
M.貝爾熱 Marcel Berger(1927 ),著名的法國數(shù)學家,法國微分幾何老前輩。曾任法國科學高等研究所(1HES)所長。貝爾熱教授撰寫過多本成功的幾何著作,并以書中的精巧論述而見長。
第零章 復習和補充
0.0 記號,復習
0.1 外代數(shù)
0.2 微分法
0.3 向量空間的開集上的微分形式
0.4 積分法
0.5 習題
第一章 微分方程
1.1 概述
1.2 不依賴時間的微分方程:局部解的存在性
1.3 整體唯一性研究,整體流
1.4 依賴時間的向量場,依賴一個參數(shù)的向量場
1.5 唯一性和對于依賴時問的向量場的整體流
1.6 相關(guān)知識和線性方程
第二章 微分流形
2.1 Rn的子流形
2.2 抽象流形
2.3 態(tài)射
2.4 覆疊映射.商
2.5 切空間
2.6 子流形,浸入,浸沒,嵌入
2.7 單位法叢,管形
2.8 習題
第三章 單位分解、密度、曲線
3.1 緊致流形的嵌入
3.2 單位分解
3.3 流形上的密度
3.4 一維連通流形的分類
3.5 流形上的向量場和微分方程
3.6 習題
第四章 臨界點
4.1 定義.例子
4.2 數(shù)值函數(shù)的非退化臨界點.莫爾斯的簡約
4.3 薩德定理
4.4 習題
第五章 流形上的微分法
5.1 叢以ArT*X
5.2 流形上的微分形式
5.3 最大階的微分形式和定向
5.4 德拉姆群
5.5 李導數(shù)
5.6 星形開集,龐加萊引理
5.7 球面和射影空間的德拉姆群
5.8 環(huán)面的德拉姆群
5.9 習題
第六章 流形上的積分法
6.1 d維定向流形上d階微分形式的積分
6.2 斯托克斯定理
6.3 斯托克斯定理的第一批應用
6.4 歐幾里得空問的定向子流形的典范體積形式
6.5 歐幾里得空間的定向子流形的體積
6.6 歐幾里得空間的子流形的典范密度
6.7 管形的體積Ⅰ:體積形式的補充
6.8 管形的體積Ⅱ
6.9 管形的體積Ⅲ
6.10 習題
第七章 映射度理論
7.1 預備引理
7.2 德拉姆群Rd(x)的確定
7.3 映射度
7.4 映射度對于同倫的不變性.應用
7.5 管形的體積f結(jié)尾)和高斯一博內(nèi)公式
7.6 屬于c0(s1;s1)的映射的映射度
7.7 抽象流形上向量場的指標
7.8 習題
第八章 曲線的局部理論
8.0 引言
8.1 定義
8.2 仿射不變量:切線,密切平面,凸性
8.3 長度,歐幾里得空間的曲線的弧長參數(shù)表示
8.4 歐幾里得空間的曲線的曲率
8.5 在歐幾里得定向平面內(nèi)的定向平面曲線的代數(shù)曲率
8.6 歐幾里得空間(3維的)雙正則曲線的撓率
8.7 習題
第九章 平面曲線的整體理論
9.1 定義
9.2 若爾當定理
9.3 等周不等式
9.4 平面曲線的回轉(zhuǎn)數(shù)
9.5 切線回轉(zhuǎn)定理
9.6 整體凸性
9.7 四頂點定理
9.8 法布里修斯布耶爾哈泊恩公式
9.9 習題
第十章 R0的曲面的局部理論的簡短導引
10.1 定義
10.2 例子
10.3 曲面的兩個基本形式
10.4 通過第一基本形式計算的量(2維黎曼幾何)
10.5 高斯曲率
10.6 第二基本形式以及通過它計算的量
10.7 曲面的兩個基本形式之間的關(guān)系
10.8 關(guān)于Rn+1中的超曲面
第十一章 曲面的整體理論的簡短導引
第一部分 2維整體黎曼流形
11.1 最短路徑的整體問題
11.2 常曲率的曲面
11.3 度量性質(zhì):一階和二階變分公式
11.4 最短路徑的唯一性和單射半徑
11.5 K≥k的流形
11.6 K≤k的流形
11.7 高斯-博內(nèi)公式和霍普夫公式
11.8 曲面上的等周不等式
11.9 周期測地線和等收縮不等式
11.10 只有周期測地線的曲面
11.11兩部分問的過渡:嵌入和浸入問題
第二部分 嵌入或浸入到R3內(nèi)的曲面
11.12 零曲率的曲面
11.13 高斯曲率為正或零的曲面
11.14 唯一性和剛性
11.15 K<0的曲面
11.16 平均曲率為零的曲面,又名極小曲面
11.17 平均曲率是常數(shù)的曲面或肥皂泡曲面
11.18 魏因加滕曲面
11.19 作為平面族的包絡的曲面:公式和應用
11.20 對于曲面的等周不等式
11.21 花束:球面和迪潘四次圓紋曲面的表征
參考文獻
法中術(shù)語對照
索引
11.17 平均曲率是常數(shù)的曲面或肥皂泡曲面
我們在10.6.9已經(jīng)知道研究平均曲率H為常數(shù)的曲面的兩個動機。一個是物理學的,另一個在于證明等周不等式。我們現(xiàn)在在整體曲面的情形下考慮它們,并致力于回答存在性和唯一性問題。這需要在緊致的情形下進行,因為否則的話,我們在10.6.9.6 已經(jīng)有了德洛內(nèi)曲面。
11.17.1 球面情形
首先要問的是,在球面以外,是否還存在H是常數(shù)的緊致曲面?1899年以來,針對高斯曲率K處處為正的情形,里布曼就以否定方式回答了這個問題(參見11.14)。所用方法是下節(jié)所用方法的一個特殊情形,并且經(jīng)過希爾伯特的推廣。在廣泛運用科達齊-馬伊納爾迪方程(參見10.7)之后人們指出曲面的所有點都是臍點。再應用10.6.4 末尾的結(jié)論:即使在局部情形下,球面是僅有的其所有點都是臍點的曲面。
11.17.2 亞歷山德洛夫定理和霍普夫定理
現(xiàn)在如果取消條件K>0,并且同時允許所有類型的拓撲,情形將會怎樣?在1955年,亞歷山德洛夫證明了所有嵌入到R0的曲面S,如果它是緊致的,并且其平均曲率日是常數(shù),則它必是球面,證明非常困難;它把分析和幾何交織在一起,在那里得出結(jié)論:所有方向都是s的一個對稱平面的法向量的方向。參閱卓越的文獻[62],以及[64]的第9章(補遺)。