這是一部涵蓋線性與非線性泛函分析大部分核心課題的巨著。書(shū)中給出了基本定理及其在線性和非線性偏微分方程，以及源自于數(shù)值分析和最優(yōu)化理論中的各種應(yīng)用。第1章不加證明地復(fù)述本書(shū)其他部分所需要的實(shí)分析及函數(shù)論的主要內(nèi)容。第2到第6章討論線性泛函分析及其應(yīng)用。第7、8、9章則討論非線性泛函分析及其應(yīng)用。
第7章 賦范向量空間中的微分學(xué)
引言
7．1 Frechet導(dǎo)數(shù)；鏈?zhǔn)椒▌t；Piola恒等式；對(duì)實(shí)值函數(shù)極值的應(yīng)用
7．2 賦范向量空間中的中值定理；第一個(gè)應(yīng)用
7．3 中值定理的應(yīng)用：可微函數(shù)序列極限的可微性
7．4 中值定理的應(yīng)用：由積分定義函數(shù)的可微性
7．5 中值定理的應(yīng)用：Sard定理
7．6 取值于Banach空間的C1類函數(shù)的中值定理
7．7 解非線性方程的Newton方法；Banach空間中的Newton-Kantorovich定理
7．8 高階導(dǎo)數(shù)；Schwarz引理
7．9 Taylor公式；對(duì)實(shí)值函數(shù)極值的應(yīng)用
7．10 應(yīng)用：二階線性橢圓算子的極大值原理
7．11 應(yīng)用：Rn中的Lagrange插值公式和多點(diǎn)Taylor公式
7．12 凸函數(shù)及可微性；對(duì)實(shí)值函數(shù)極值的應(yīng)用
7．13 隱函數(shù)定理；第一個(gè)應(yīng)用：映射A→A-1屬于C∞類
7．14 局部反演定理；Banach空間中關(guān)于C1類映射的區(qū)域不變性定理；映射A→A1/2屬于C∞類
7．15 實(shí)值函數(shù)的約束極值；Lagrange乘子
7．16 Lagrange函數(shù)及鞍點(diǎn)；原始和對(duì)偶問(wèn)題
第8章 Rn中的微分幾何
引言
8．1 Rn的開(kāi)子集中的曲線坐標(biāo)
8．2 度量張量；在曲線坐標(biāo)下的體積和長(zhǎng)度
8．3 向量場(chǎng)的共變導(dǎo)數(shù)
8．4 張量簡(jiǎn)介
8．5 度量張量滿足的必要條件：Riemann曲率張量
8．6 具有指定度量張量的Rn開(kāi)子集上浸入的存在性；Riemann幾何的基本定理
8．7 具有同一度量張量的浸入在相差一等距意義下的唯一性；Rn中開(kāi)子集的剛性定理
8．8 R3中曲面上的曲線坐標(biāo)
8．9 曲面的第一基本形式；曲面上的面積，長(zhǎng)度和角度
8．10 等距，等積及保形曲面
8．11 曲面的第二基本形式；曲面上的曲率
8．12 主曲率；GaUSS曲率
8．13 定義在曲面上向量場(chǎng)的共變導(dǎo)數(shù)；Gauss公式和Weingarten公式
8．14 第一和第二基本形式滿足的必要條件：Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程
8．15 GaUSS絕妙定理：在制圖學(xué)上的應(yīng)用
8．16 具有指定第一和第二基本形式的曲面的存在性：曲面基本定理
8．17 具有同一基本形式的曲面的唯一性；曲面的剛性定理
第9章 非線性泛函分析的重要定理
引言
9．1 作為與泛函極小化相關(guān)的Euler-Lagrange方程的非線性偏微分方程
9．2 凸函數(shù)和在Ru（∞）中取值的序列下半連續(xù)函數(shù)
9．3 強(qiáng)制序列弱下半連續(xù)泛函極小化子的存在性
9．4 對(duì)von Karman方程的應(yīng)用
9．5 在W1，p（中的極小化子的存在性
9．6 對(duì)p-Laplace算子的應(yīng)用
9．7 多凸性；補(bǔ)償緊性；非線性彈性中的John Ball存在定理
9．8 Ekeland變分原理；滿足Palais-Smale條件的泛函極小化子的存在性．
9．9 Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理——第一個(gè)證明
9．10 Brouwer定理的應(yīng)用：借助Galerkin方法求解von Karman方程．
9．11 Brouwer定理的應(yīng)用：借助Galerkin方法求解Navier-Stokes方程．
9．12 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理；Schaferr不動(dòng)點(diǎn)定理；Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理
9．13 單調(diào)算子
9．14 單調(diào)算子的Minty-Browder定理；對(duì)p-Laplace算子的應(yīng)用
9．15 Rn中的Brouwer拓?fù)涠龋憾x和性質(zhì)
9．16 Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理——第二個(gè)證明；毛球定理
9．17 Borsuk定理及Borsuk-Ulam定理；Brouwer區(qū)域不變性定理
文獻(xiàn)注釋
參考文獻(xiàn)
主要符號(hào)
名詞索引
書(shū)單推薦
