本套教材包含微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。教材分上、下冊。上冊主要內(nèi)容為常微分方程理論基礎(chǔ)，包括基本概念、初等積分法、高階線性微分方程、常微分方程組、基本定理、定性與穩(wěn)定性理論初步和離散動力系統(tǒng)簡介等。下冊主要內(nèi)容為偏微分方程理論，包括緒論、一階偏微分方程、二階線性偏微分方程的經(jīng)典理論、偏微分方程解的性質(zhì)、廣義函數(shù)及Sobolev空間、偏微分算子的基本解及其應(yīng)用、偏微分方程的廣義解及其正則性和非線性偏微分方程的典型解法。
微分方程是帶有未知函數(shù)及其導數(shù)的等式。它是數(shù)學理論與其他數(shù)學分支、科學和工程實踐相結(jié)合的橋梁，其目標是利用數(shù)學理論解決來源于科學、工程實踐等的實際問題。
在現(xiàn)行數(shù)學課程中，微分方程常常以常微分方程和偏微分方程兩個課程出現(xiàn)。常微分方程基本上只涉及含有未知函數(shù)的單變元的導數(shù)的微分方程，而偏微分方程涉及含有多變元的未知函數(shù)及其偏導數(shù)的微分方程。經(jīng)過長期發(fā)展，常微分方程和偏微分方程兩個課程各自都已經(jīng)有了十分完美的教材。然而，大多數(shù)常微分方程教材和偏微分方程教材自成體系，很少有作者將兩者的內(nèi)容統(tǒng)一起來，相互呼應(yīng)和借鑒。但從常微分方程和偏微分方程這種分類方法就不難明白，它們之間存在千絲萬縷的聯(lián)系。例如，F(xiàn)ourier變換和Laplace變換之類的積分變換方法以及Fourier級數(shù)之類的級數(shù)方法既可以用于常微分方程問題也可以用于偏微分方程問題。另外，很多偏微分方程問題可以通過數(shù)學方法轉(zhuǎn)換為常微分方程問題來求解。
為了避免課程之間的重復講授，同時也為了加深學生對微分方程的整體理解與融會貫通，我們決定把常微分方程和偏微分方程作統(tǒng)一處理，嘗試將它們結(jié)合起來。經(jīng)過近5年的教學實踐，我們對微分方程課程進行了多次優(yōu)化與提煉，將使用多年的講義編寫成教材。
本書是整套教材的上冊，主要內(nèi)容涉及常微分方程的古典理論、穩(wěn)定性理論、定性理論及初步的離散動力系統(tǒng)理論。在本書中，我們力圖通過實際例子或重要的應(yīng)用背景來引入概念和定理，把定理的建立與證明盡可能處理成一個“發(fā)現(xiàn)”的過程，這種處理方法將有利于學生創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。我們還強調(diào)一些重要的定義、定理和公式的物理與幾何內(nèi)涵，既強調(diào)它們在數(shù)學上的作用，也強調(diào)它們在物理或幾何上的解釋。這樣做能使得數(shù)學專業(yè)的學生認識到數(shù)學在作為一門自然科學語言使用時所具有的精確描述能力，也能使他們認識到數(shù)學應(yīng)用的廣泛性，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的濃厚興趣；在應(yīng)用公式解決實際問題時采用數(shù)學建模的觀點與方法，即強調(diào)“分析實際問題（抽象簡化）→建立數(shù)學模型（轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題）→獲得數(shù)學解（應(yīng)用公式和算法）→解釋實際問題（討論解的合理性）”的解題過程。例如在線性微分方程中，對彈性振子運動的建模與分析，對R-L-C回路中電流隨時間變化規(guī)律的分析等，這樣做將有利于培養(yǎng)數(shù)學專業(yè)學生對實際問題提煉、抽象成數(shù)學問題的能力。
本書在第6章對離散動力系統(tǒng)作了簡單介紹，重點是一維映射的性質(zhì)及不動點與周期軌的討論。這是因為近年來，離散動力系統(tǒng)發(fā)展迅速，其在生態(tài)學、計算機網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有大量的應(yīng)用。而作為數(shù)學專業(yè)本科生，應(yīng)該對微分方程學科的最新發(fā)展動態(tài)與最新研究領(lǐng)域、內(nèi)容和方法有所了解。
本書第0、1、2、3章由彭臨平教授執(zhí)筆，第4、5、6章由李翠萍教授執(zhí)筆，全書由鄭志明教授、李翠萍教授與郭定輝教授統(tǒng)稿。
雖然本書的每一位編者都長期從事微分方程及相關(guān)領(lǐng)域的教學與研究，但是不妥與錯誤之處在所難免，真誠地希望有關(guān)專家、讀者給予批評指正。
第0章 緒論
0．1 微分方程的例子
0．2 微分方程的基本概念
0．3 微分方程的發(fā)展和問題
第1章 初等積分法
1．1 變量分離方程
1．2 一階線性微分方程
1．3 恰當方程與積分因子
1．4 一階隱式方程的解法
1．5 一階微分方程的應(yīng)用
第2章 高階微分方程
2．1 線性微分方程的一般理論
2．2 n階常系數(shù)齊線性微分方程
2．3 n階常系數(shù)非齊線性微分方程
2．4 Laplace變換法簡介
2．5 線性微分方程的應(yīng)用
2．6 高階微分方程的降階法和冪級數(shù)解法
第3章 線性微分方程組
3．1 預備知識
3．2 線性微分方程組的基本定理
3．3 一階齊線性微分方程組
3．4 一階非齊線性微分方程組
3．5 常系數(shù)線性微分方程組
3．6 Laplace變換的應(yīng)用
第4章 基本定理
4．1 常微分方程的幾何解釋
4．2 解的存在唯一性
4．3 解的延拓
4．4 奇解
4．5 解關(guān)于初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性及可微性
4．6 方程組情形的基本定理
第5章 定性和穩(wěn)定性理論初步
5．1 穩(wěn)定性的概念
5．2 平面自治系統(tǒng)的基本概念
5．3 Lyapunov第二方法
5．4 平面定性理論初步
第6章 離散動力系統(tǒng)簡介
6．1 一維映射
6．2 多變量函數(shù)
6．3 迭代的幾何方法
6．4 轉(zhuǎn)移圖與周期點
參考文獻
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