目錄
前言
第1章 函數(shù)與極限 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 變量的變化范圍 1
1.1.2 函數(shù)的定義 2
1.1.3 幾類特殊的函數(shù) 4
1.1.4 初等函數(shù) 9
1.2 函數(shù)的極限 12
1.2.1 數(shù)列的極限 12
1.2.2 函數(shù)的極限 20
1.2.3 函數(shù)極限的性質(zhì)及其運(yùn)算法則 23
1.3 無窮大量與無窮小量 32
1.3.1 無窮大量與無窮小量的定義 32
1.3.2 無窮小量之間的比較 33
1.4 連續(xù)函數(shù) 36
1.4.1 連續(xù)函數(shù)的定義 36
1.4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 38
1.4.3 函數(shù)間斷點(diǎn)的分類 41
1.5 思考與拓展 43
復(fù)習(xí)題1 48
第2章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 51
2.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 51
2.1.1 實(shí)例 51
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 52
2.1.3 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 56
2.1.4 高階導(dǎo)數(shù) 57
2.2 求導(dǎo)的基本方法 59
2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 59
2.2.2 四類特殊函數(shù)的求導(dǎo)法則 62
2.2.3 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法與指數(shù)求導(dǎo)法 67
2.3 函數(shù)的微分 69
2.3.1 微分的定義 69
2.3.2 線性近似 71
2.4 微分中值定理及其應(yīng)用 72
2.4.1 Rolle中值定理 72
2.4.2 Lagrange中值定理 74
2.4.3 Cauchy中值定理 78
2.4.4 Taylor公式 79
2.5 未定式極限 86
2.5.1 0/0型和∞/∞型 86
2.5.2 其他未定式極限 88
2.6 函數(shù)性態(tài) 91
2.6.1 函數(shù)的單調(diào)性 91
2.6.2 函數(shù)的極值 93
2.6.3 函數(shù)的凸性與漸近線 98
2.6.4 弧微分與曲線的曲率 101
2.7 思考與拓展 105
復(fù)習(xí)題2 112
第3章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 115
3.1 定積分的概念及性質(zhì) 115
3.1.1 實(shí)例 115
3.1.2 定積分的定義 116
3.1.3 定積分的性質(zhì) 119
3.2 不定積分與微積分基本定理 123
3.2.1 原函數(shù)與不定積分 123
3.2.2 微積分基本定理 126
3.3 不定積分的積分方法 130
3.3.1 換元積分法 130
3.3.2 分部積分法 132
3.3.3 四類特殊函數(shù)的不定積分 136
3.3.4 定積分的計(jì)算 141
3.4 廣義積分 146
3.4.1 無限區(qū)間上的廣義積分 147
3.4.2 有限區(qū)間上無界函數(shù)的廣義積分 148
3.5 定積分的應(yīng)用 153
3.5.1 微元法 153
3.5.2 幾何上的應(yīng)用 155
3.5.3 物理上的應(yīng)用 159
3.5.4 積分不等式 162
3.6 思考與拓展 171
復(fù)習(xí)題3 174
第4章 常微分方程 177
4.1 常微分方程的基本概念 177
4.1.1 實(shí)例 177
4.1.2 基本概念 178
4.2 一階常微分方程 180
4.2.1 可分離變量方程 181
4.2.2 齊次方程 182
4.2.3 一階線性微分方程 184
4.2.4 Bernoulli方程 186
4.3 高階常微分方程 188
4.3.1 可降階的高階常微分方程 188
4.3.2 n階線性常微分方程 190
4.3.3 Euler方程 193
4.4 二階常系數(shù)非齊次常微分方程 194
4.4.1 二階齊次常系數(shù)微分方程 194
4.4.2 f(x) = Pm(x)e*x型 195
4.4.3 f(x) = e*x(Ps(x)cos wx + Qt(x) sin wx)型 196
4.5 微分方程應(yīng)用 199
4.5.1 幾何上的應(yīng)用 199
4.5.2 物理上的應(yīng)用 200
4.6 思考與拓展 203
復(fù)習(xí)題4 205
第5章 向量代數(shù)與解析幾何 208
5.1 向量代數(shù) 208
5.1.1 向量的概念 208
5.1.2 向量的線性運(yùn)算 209
5.1.3 向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 210
5.1.4 向量的方向余弦與向量的投影 211
5.2 向量的數(shù)量積、向量積與混合積 213
5.2.1 向量的數(shù)量積 213
5.2.2 向量的向量積 215
5.3 空間曲面及其方程 218
5.3.1 曲面方程 218
5.3.2 二次曲面 221
5.4 空間曲線和向量函數(shù) 222
5.4.1 空間曲線及其方程 222
5.4.2 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 224
¤5.4.3 向量函數(shù) 225
5.5 平面與直線 227
5.5.1 平面及其方程 227
5.5.2 空間直線及其方程 229
5.5.3 直線與平面的位置關(guān)系 232
5.6 思考與拓展 235
復(fù)習(xí)題5 239
第6章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 241
6.1 多元函數(shù) 241
6.1.1 區(qū)域 241
6.1.2 n元函數(shù)及二元函數(shù)的極限 242
6.1.3 二元函數(shù)的連續(xù)性 246
6.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 248
6.2.1 n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 248
6.2.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差異 250
6.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù) 251
6.2.4 n元函數(shù)的全微分 253
6.3 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法 258
6.3.1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 258
6.3.2 隱函數(shù)的微分法 263
6.4 方向?qū)��?shù)與梯度 266
6.4.1 方向?qū)��?shù) 266
6.4.2 梯度 269
6.5 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 270
6.5.1 Taylor公式 270
6.5.2 幾何上的應(yīng)用 273
6.5.3 二元函數(shù)的極值和最值 276
6.5.4 條件極值的Lagrange乘數(shù)法 279
6.6 思考與拓展 282
復(fù)習(xí)題6 284
第7章 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 287
7.1 n重積分 287
7.1.1 n重積分的定義 287
7.1.2 n重積分的性質(zhì) 288
7.1.3 二重積分與三重積分 289
7.2 重積分的計(jì)算 293
7.2.1 二重積分的計(jì)算 293
7.2.2 三重積分的計(jì)算 301
7.2.3 重積分的應(yīng)用 305
7.3 曲線積分 311
7.3.1 對(duì)弧長的曲線積分 311
7.3.2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 314
7.4 Green公式及其應(yīng)用 320
7.4.1 Green公式 320
7.4.2 曲線積分與積分路徑無關(guān)的充分必要條件 325
7.5 曲面積分 331
7.5.1 對(duì)面積的曲面積分 331
7.5.2 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 334
7.5.3 Gauss公式 338
7.5.4 Stokes公式 340
7.5.5 場論初步 342
7.5.6 Hamilton算子 344
7.6 思考與拓展 346
復(fù)習(xí)題7 352
第8章 無窮級(jí)數(shù) 355
8.1 無窮級(jí)數(shù)及其基本性質(zhì) 355
8.1.1 問題的提出 355
8.1.2 無窮級(jí)數(shù)的基本概念 357
8.1.3 無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì) 360
8.2 級(jí)數(shù)收斂判別法 362
8.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法 362
8.2.2 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法 368
8.3 冪級(jí)數(shù) 373
8.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 373
8.3.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂性 375
8.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 380
8.4 函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù) 386
8.4.1 Taylor級(jí)數(shù) 386
8.4.2 函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 391
8.4.3 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 394
8.5 Fourier級(jí)數(shù) 396
8.5.1 三角函數(shù)系的正交性 396
8.5.2 函數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù) 397
8.5.3 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) 400
8.5.4 一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù) 401
8.6 思考與拓展 405
復(fù)習(xí)題8 410
第9章 數(shù)學(xué)實(shí)踐與數(shù)學(xué)建模初步 413
9.1 數(shù)學(xué)實(shí)踐 413
9.1.1 函數(shù)與極限的應(yīng)用實(shí)例 413
9.1.2 一元函數(shù)微積分的應(yīng)用實(shí)例 418
9.1.3 n元函數(shù)微積分的應(yīng)用實(shí)例 425
9.1.4 無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 428
9.2 Matlab在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 431
9.3 數(shù)學(xué)建模初步 435
9.3.1 基本知識(shí) 435
9.3.2 建模實(shí)例 437
9.4 簡單的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 442
9.4.1 邊際成本與邊際效益 442
9.4.2 效用函數(shù) 444
9.4.3 商品替代率 444
9.4.4 效用分析 445
參考文獻(xiàn) 446
部分習(xí)題參考答案或提示 448
數(shù)學(xué)淺談 473