本書研究如何將線性科學中適用的強有力的基本方法發(fā)展推廣到非線性科學。書中全面系統(tǒng)論述作者及其課題組近幾年建立的新研究方法，如多線性分離變量法、泛函分離變量法和導(dǎo)數(shù)相關(guān)泛函分離變量法、形變映射法、方程推導(dǎo)的非平均法等。本書還系統(tǒng)介紹了在非線性數(shù)學物理嚴格解研究方面的一些其他重要方法及其**發(fā)展，如有限和無限區(qū)域的反散射方法、形式分離變量法、奇性分析法、對稱性約化方法、達布變換方法和廣田直接法等等。書中利用這些方法，對非線性系統(tǒng)中的各種局域激發(fā)模式及其相互作用作了詳盡的描述。
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目錄
前言
第一章緒論 1
1.1 孤立波和孤立子 1
1.2 可積性 4
1.3 非線性系統(tǒng)的數(shù)學研究手段簡介 6
1.3.1 非線性系統(tǒng)求解方法一覽 6
1.3.2 分離變量法在非線性科學巾的進展 7
1.4 非線性激發(fā)模式及其相互作用研究狀況 10
第二章 非線性數(shù)學物理方程的導(dǎo)出 12
2.1 VCKdV型方程的導(dǎo)出 12
2.1.1 利用y平均方法導(dǎo)出VCKdV型方程 14
2.1.2 LTHT方法導(dǎo)出VCKdV型方程 15
2.2 VCMKdV型方程的導(dǎo)出 15
2.2.1 利用y平均方法導(dǎo)出VCMKdV型方程 17
2.2.2 LTHT方法導(dǎo)出VCMKdV型方程 17
2.3 VCNLS型方程的導(dǎo)出 18
2.3.1 利用y平均方法導(dǎo)出VCNLS型方程 20
2.3.2 LTHT方法導(dǎo)出VCNLS型方程 22
2.4 耦合KdV方程的導(dǎo)山 23
第三章 非線性方程的行波法 29
3.1 線性波動方程的行波法 29
3.2 非線性系統(tǒng)的行波約化 31
3.2.1 KdV方程昀行波解 31
3.2.2 MKdV方程的行波解 32
3.2.3 非線性薛定諤方程的包絡(luò)行波解 35
3.2.4 KP方程的行波解 37
3.2.5 非線性Klein-Gordon方程的行波解 38
3.3 一般函數(shù)展開法：φ（n ，m）展開法 40
3.3.1 φ（n ，m）展開法 40
3.3.2 締合KdV-MKdV方程的行波解 41
3.4 行波形變映射法 43
3.4.1 Sine Gordon方程的行波解 43
3.4.2 雙sine Gordon方程的行波解 45
3.4.3 φ6模型的行波解 48
第四章 多線性分離變量法 54
4.1 多線性分離變量法 54
4.2 多線性分離變量解 56
4.2.1 DS系統(tǒng)的多線性分離變量解 56
4.2.2 BLMP系統(tǒng)的多線性分離變量解 59
4.2.3 其他非線性系統(tǒng)的多線性分離變量解 61
4.2.4 2+1維不可積KdV系統(tǒng)的多線性分離變量解 64
4.2.5 3+1維非線性系統(tǒng)的多線性分離變量解 67
4.3 般多線性分離變量法 69
4.3.1 第一類一般多線性分離變量解 70
4.3.2 第二類一般多線性分離變量解 74
4.4 非線性局域激發(fā)模式 78
4.4.1 共振dromion解和solitoff解 79
4.4.2 多dromion解和dromion格點共振 80
4.4.3 多l(xiāng)ump解 81
4.4.4 多振蕩dromlon和多振蕩lump解 82
4.4.5 多瞬子解 82
4.4.6 多環(huán)孤子解 83
4.4.7 2+1維peakon解 86
4.4.8 2+1維compacton解 89
4.4.9 鬼（隱形）孤子 93
4.4.10 孤了的裂變和聚變現(xiàn)象 96
4.4.11 混沌斑圖模式 106
4.4.12 分形斑圖模式 109
4.4.13 折替孤立波和折替予 111
4.4.14 3+1維局域激發(fā) 127
4.5 討論與小結(jié) 129
第五章 泛函分離變量法 132
5.1 GCS、FSS和DDFSS的基本理論 132
5.2 泛函分離變量法 134
5.3 泛函分離變量解 136
5.3.1 具有FSS的1+1維一般非線性擴散方程的嚴格解 136
5.3.2 具有FSS的2+1維一般非線性擴散方程的嚴格解 143
5.3.3 具有FSS的一般非線性波動方程的歸類和求解 150
5.4 導(dǎo)數(shù)相關(guān)泛函分離變量法 177
5.5 導(dǎo)數(shù)相關(guān)泛雨分離變量解 178
5.5.1 搬非線性擴散方程的DDFSS歸類和求解 179
5.5.2 KdV型方程的DDFSS歸類和求解 193
5.5.3 一般非線性波動方程的DDFSS歸類和求解 206
5.6 小結(jié) 233
第六章 形式分離變量法 235
6.1 Lax對的非線性化方法 235
6.2 對稱約束法 237
6.3 不可積系統(tǒng)的形式分離變量法 241
6.4 對稱性約化 244
第七章 非線性傅里葉變換方法 247
7.1 線性系統(tǒng)的傅里葉變換 247
7.2 非線性系統(tǒng)的傅里葉變換 249
7.2.1 相容性條件 250
7.2.2 正散射問題 251
7.2.3 反散射問題 256
7.2.4 時間演化 258
7.2.5 孤立子解 258
7.3 有限區(qū)域傅里葉變換 260
7.3.1 引言 261
7.3.2 滿足存在性假設(shè)的RH問題 265
7.3.3 假定全局關(guān)系成立下的存在性 272
7.3.4 全局關(guān)系分析 281
7.3.5 結(jié)論 284
第八章 非線性方程的其他研究方法 286
8.1 廣田直接法 286
8.1 1 KdV方程的Hirota方法處理 286
8.1.2 耦合KdV方程的可雙線性化分類 288
8.2 達布變換法 290
8.2.1 初等達布變換 290
8.2.2 2+1維色散長波方程的達布變換的分離變量解 294
8.2.3 2+1維非對稱NNV方程的達布變換的分離變量解 301
8.3 Painleve分析法 307
8.3.1 Burgers方程的Painleve測試 308
8.3.2 Burgers方程的新嚴格解 312
8.4 對稱約化法 314
8.4.1 CK直接法 314
8.4.2 KP方程的經(jīng)典李群法和經(jīng)典李對稱方法 319
8.4.3 KP方程的非經(jīng)典李群法 321
8.5 非行波形變映射法 322
8.5.1 高維φ4模型的嚴格解形變到φ6模型 323
8.5.2 φ4模型的Backlund變換和非線性疊加 331
參考文獻 343
附錄A 偏微分方程組(5-185) 352
附錄B 偏微分方程組(5-262) 355
附錄C 偏微分方程組(5-280) 360
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