不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)是現(xiàn)代社會(huì)最重要的文化組成部分之一。它對(duì)其他文化元素的影響是如此的基礎(chǔ)和廣泛，以至于有理由相信，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們最現(xiàn)代的生活方式幾乎不可能實(shí)現(xiàn)。暫不說(shuō)電力、無(wú)線電、電視、計(jì)算機(jī)和太空旅行這些顯而易見(jiàn)的例子，單單計(jì)算的基本技巧就足以證實(shí)這一說(shuō)法。難以想象不使用任何數(shù)字的一天是如何度過(guò)的。
然而，開(kāi)展本研究的動(dòng)機(jī)并非出于數(shù)學(xué)的重要性，更確切地說(shuō)，是出于對(duì)數(shù)學(xué)概念（如數(shù)和幾何）如何以及為何被創(chuàng)造和發(fā)展的渴求。我們對(duì)數(shù)學(xué)家個(gè)體如何創(chuàng)造和發(fā)展他們的概念有相當(dāng)多的了解，并已經(jīng)從心理學(xué)層面進(jìn)行研究杰出的數(shù)學(xué)家，尤其是龐加萊和哈達(dá)瑪，以自身的經(jīng)歷做出了貢獻(xiàn)。但這些只是一部分情況，沒(méi)有任何數(shù)學(xué)家能夠在真空中工作。數(shù)學(xué)家的興趣不僅取決于他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)狀況，還取決于他與世界各地的數(shù)學(xué)同事的聯(lián)系。已故人類(lèi)學(xué)家拉爾夫·林頓提出了一個(gè)假設(shè)：……如果愛(ài)因斯坦出生在一個(gè)無(wú)法數(shù)到3以上的原始部落，那么他耗盡畢生的努力可能都無(wú)法超越基于手指和腳趾的十進(jìn)制的發(fā)展。經(jīng)過(guò)了幾個(gè)文明，不計(jì)其數(shù)的數(shù)學(xué)家歷經(jīng)了四五千年的努力，才得以產(chǎn)生十進(jìn)制，所以即使是天賦異稟的愛(ài)因斯坦，在他的整整一生中能否做到這一點(diǎn)也還是值得懷疑的。愛(ài)因斯坦（包括其他的數(shù)學(xué)天才）之所以能夠達(dá)成他所做的事情，是由多種因素促成的，其中只有一個(gè)是他那毋庸置疑的天賦，而大部分因素都具有文化性質(zhì)。
數(shù)學(xué)家們往往會(huì)忽視或者忘記他們工作的文化性質(zhì)，常覺(jué)得他們所處理的概念在文化環(huán)境之外擁有一個(gè)現(xiàn)實(shí)（reality）（一種柏拉圖式的理想世界）。事實(shí)上，一些數(shù)學(xué)家似乎完全缺乏一種洞察力，即沒(méi)有意識(shí)到他的觀察和他的概念會(huì)受到觀察者的影響，而關(guān)于這一點(diǎn)，現(xiàn)代物理學(xué)家已經(jīng)意識(shí)到了。還有哪個(gè)學(xué)科像數(shù)學(xué)這樣，概念逐漸比可觀察的事物更重要？
沒(méi)有人指望能夠在某一特定文化的邏輯和語(yǔ)言中找到物理世界嚴(yán)格遵循的規(guī)律。物理學(xué)家將所謂的規(guī)律純粹地表述為一種使環(huán)境合理化和預(yù)測(cè)其行為的模式，他并沒(méi)有斷言自然遵循這些規(guī)律。就數(shù)學(xué)而言，它基于真實(shí)的物理環(huán)境，尋求宇宙所遵循的算數(shù)、幾何等規(guī)律。但是，一旦數(shù)學(xué)成為一個(gè)成熟的文化元素，它似乎就會(huì)自行發(fā)展，仿佛獨(dú)立于現(xiàn)實(shí)（reality）之外一樣。
然而，數(shù)學(xué)并非獨(dú)立于文化的力量而發(fā)展，它受到一些文化自身特有的性質(zhì)的影響，而不僅僅是物理學(xué)、藝術(shù)或其他文化成分。有些人認(rèn)為在某一特定時(shí)期盛行的傾向是錯(cuò)誤的，于是試圖改變數(shù)學(xué)研究的方向，但這似乎是徒勞的。只有在強(qiáng)大的環(huán)境和內(nèi)部壓力作用下才能有效地改變數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，例如有時(shí)由于戰(zhàn)爭(zhēng)的施壓、政治變革所引發(fā)的混亂、宿主文化（host culture）的重大改變和數(shù)學(xué)本身的危機(jī)等等。中國(guó)古代和中世紀(jì)數(shù)學(xué)的停滯，反映了宿主文化的靜態(tài)特征；希臘數(shù)學(xué)的衰落，其原因雖一直備受爭(zhēng)議，但無(wú)論如何，它都屬于文化整體衰落（內(nèi)部的和環(huán)境的）的一部分；同時(shí)還有第二次世界大戰(zhàn)前歐洲數(shù)學(xué)家涌入美國(guó)對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)和一般的數(shù)學(xué)的影響等都足以證實(shí)上述觀點(diǎn)。近年來(lái)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中新研究的興起，以及其從業(yè)者地位不尋常的提高，如同物理學(xué)領(lǐng)域發(fā)生的那樣主要是由于政治環(huán)境的作用。
而且，我相信數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)都可以從對(duì)數(shù)學(xué)演變的研究中獲益。如果我們相信那些不知道歷史的人會(huì)陷在黑暗中，密歇根大學(xué)威廉·克萊門(mén)茨圖書(shū)館外墻上的題字（致已故的烏爾里希·菲利普斯教授）。那么同樣我們也會(huì)相信，數(shù)學(xué)家若忽視塑造他思想的演變力量，就相當(dāng)于失去了一個(gè)有價(jià)值的研究視角。單純了解歷史是不夠的，雖然日期、傳記等很重要，但它們只是這類(lèi)研究的一部分資料。此外，既然文化的演變已經(jīng)成為人類(lèi)學(xué)中公認(rèn)的理論，那么這類(lèi)研究應(yīng)該引起廣泛的關(guān)注，尤其是那些對(duì)他所處的文化環(huán)境的思想起源感興趣的人。
開(kāi)展這類(lèi)研究的主要障礙在于早期記錄的不足。是研究一般文化的演變過(guò)程容易還是研究某一種特定文化（如數(shù)學(xué)）的演變過(guò)程容易，這個(gè)問(wèn)題一直懸而未決。一方面，將文化視為一個(gè)整體來(lái)研究，可以從大量的文物中得出結(jié)論，而對(duì)于某一種特定文化（如數(shù)學(xué)），則可用的材料相對(duì)比較有限。另一方面，有限的材料可以降低復(fù)雜性和減少關(guān)注點(diǎn)。關(guān)于馬的進(jìn)化的研究就是一個(gè)例子。正如對(duì)特定生命形式的進(jìn)化進(jìn)行研究可以為一般的生命形式提供模式一樣，研究特定文化（如數(shù)學(xué)）的演變過(guò)程對(duì)研究文化演變的一般形式具有重要意義。
然而眾所周知，數(shù)學(xué)是技術(shù)性的，其關(guān)注點(diǎn)集中在數(shù)和幾何的基本方面。它們的演變基本上展現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的所有特點(diǎn)。數(shù)字不僅是數(shù)學(xué)的開(kāi)始，而且數(shù)概念以某種形式貫穿于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。這是每個(gè)文明人（也包括非文明人）為適應(yīng)社會(huì)和物理環(huán)境所需要掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，為了便于一般的理解，它不應(yīng)具有太多的技術(shù)性。本書(shū)只有在第4章有一些技術(shù)性的東西，但我希望其呈現(xiàn)的方式能有助于非數(shù)學(xué)家對(duì)該內(nèi)容的吸收。我相信沒(méi)有讀完這一章的讀者可以從本書(shū)的其余部分找到足夠的材料來(lái)理解它的大概意思。
在這里我嘗試從人類(lèi)學(xué)家的角度而不是從數(shù)學(xué)家的角度來(lái)研究數(shù)學(xué)子文化。當(dāng)然，由于我是一名數(shù)學(xué)家，與社會(huì)科學(xué)家在研究自身所處的文化時(shí)所遇到的風(fēng)險(xiǎn)一樣，我很難擺脫自己的文化而去冷靜地審視它。但是，數(shù)學(xué)的技術(shù)性如此之強(qiáng)，專業(yè)以外的人幾乎不可能穿透符號(hào)的簾子和抽象的概念來(lái)發(fā)展它。與通常用來(lái)獲取原始文化的風(fēng)俗和信仰知識(shí)的報(bào)告者（informant）系統(tǒng)不同，相似的情況在數(shù)學(xué)中是行不通的。
我想否認(rèn)任何哲學(xué)化的嘗試，我純粹只想對(duì)某一特定文化的發(fā)展和行為進(jìn)行研究。然而，完全避免哲學(xué)概念是不可能的，畢竟數(shù)學(xué)哲學(xué)影響了數(shù)的發(fā)展，尤其是在希臘時(shí)期。另一方面，如果我的某些結(jié)論似乎只有哲學(xué)基礎(chǔ)，那么它必定是由所謂的科學(xué)哲學(xué)和科學(xué)理論之間的模糊界限造成的。我通過(guò)類(lèi)比宗教來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，宗教純粹是從人類(lèi)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行研究的，很少或根本沒(méi)有提及宗教哲學(xué)，除非它構(gòu)成了某一特定的宗教內(nèi)容。
專業(yè)數(shù)學(xué)家不應(yīng)期望在本書(shū)中找到對(duì)諸如實(shí)數(shù)系等主題的嚴(yán)格處理，因?yàn)檫@不是一本教科書(shū)。這是一本關(guān)于作為一種文化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)著作，而并非關(guān)于數(shù)學(xué)本身。如果閱讀完本書(shū)之后，專業(yè)數(shù)學(xué)家對(duì)其工作性質(zhì)有了更深刻的理解，那么我認(rèn)為我的目的就已經(jīng)達(dá)到了。另一方面，我相信對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者，尤其是研修社會(huì)學(xué)和人類(lèi)學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在閱讀完本書(shū)后，將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)是什么有一個(gè)真正的理解，同時(shí)他可以忽略本書(shū)涉及的一些技術(shù)性知識(shí)并繼續(xù)讀到最后。
由于非數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域的讀者的緣故，本書(shū)對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了介紹，不僅包括它是什么、它是如何發(fā)展的，還從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度介紹了正在發(fā)生的事情。為了同時(shí)照顧數(shù)學(xué)專業(yè)和非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者，本書(shū)的第1章介紹初步概念，我希望它包含足夠多的關(guān)于文化人類(lèi)學(xué)的資料，以及我們?nèi)粘Ｋ�使用的十進(jìn)制系統(tǒng)的性質(zhì)，以幫助闡明一些技術(shù)性術(shù)語(yǔ)。如果讀者熟悉該內(nèi)容，那么可以忽略這部分的所有資料，從第2章開(kāi)始閱讀。
參考書(shū)目提供作者的名字和日期，因此Bell，1933，P.20指的是貝爾在1931年的出版物，具體到第20頁(yè)。對(duì)本書(shū)內(nèi)容的引用一般只提供章和節(jié)，如果引用同一章內(nèi)不同節(jié)的內(nèi)容，則省略章號(hào)。
我感激那些為我的觀點(diǎn)的形成做出貢獻(xiàn)的同事和學(xué)生，人數(shù)太多以至于我沒(méi)辦法一一列舉出他們的名字。我特別感謝我的人類(lèi)學(xué)家朋友萊斯利·懷特教授，還有我的孩子貝蒂·安·迪林厄姆（她閱讀了初稿并做了評(píng)論）和大衛(wèi)，這兩位社會(huì)學(xué)家與我一起對(duì)很多相關(guān)的資料進(jìn)行了討論，此處所呈現(xiàn)出來(lái)的想法是眾人努力的結(jié)果。我要感謝我的同事菲利普·瓊斯教授和我以前的學(xué)生愛(ài)麗絲·迪金森教授，感謝他們的討論與鼓勵(lì)。特別感謝秘書(shū)瑪麗·安·索伯女士的協(xié)助。另外，我還要感謝大學(xué)和學(xué)院讓我有機(jī)會(huì)從文化的角度講授數(shù)學(xué)。正是由于聽(tīng)眾們的鼓勵(lì)，我才決定寫(xiě)這本書(shū)。我希望那些聽(tīng)過(guò)我的講座并且碰巧讀到這本書(shū)的人會(huì)意識(shí)到兩者之間的相似之處。還要感謝密歇根科學(xué)與技術(shù)研究所和佛羅里達(dá)州立大學(xué)的支持，分別在19601961年和19611962年授予我研究教授的職位，為研究工作提供了時(shí)間支持和經(jīng)費(fèi)資助。
懷爾德
安阿伯市，美國(guó)密歇根州
1968年5月