本書介紹了非線性動力系統(tǒng)的基本動力學(xué)要素：奇點(diǎn)的穩(wěn)定性(奇點(diǎn)與其附近軌道的關(guān)系)及其物理意義，閉軌及其穩(wěn)定性(閉軌與其附近軌道的關(guān)系)，同縮軌及其計(jì)算，異縮軌及其計(jì)算，奇異閉軌(同縮軌與其關(guān)聯(lián)的奇點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲線，或由若干根異縮軌和若干個(gè)奇點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲線——異縮圈)。本書還介紹了計(jì)算奇點(diǎn)穩(wěn)定性的中心流形定理，基于異縮圈對流體力學(xué)中渦旋現(xiàn)象的理論解釋，同縮軌和異縮軌與非線性偏微分方程孤立波解的聯(lián)系，龐加萊映射及其應(yīng)用，含參數(shù)動力系統(tǒng)的基本動力學(xué)要素的定量與定性行為隨參數(shù)變化的變化規(guī)律——分叉，混沌概念及其產(chǎn)生的機(jī)理，KAM定理，求孤立波的反散射方法，孤立波的碰撞特性。
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目錄
第1章 緒論 1
1.1 動力系統(tǒng)的定義 2
1.2 非線性動力學(xué)的定義 3
1.3 物理概念與數(shù)學(xué)概念的關(guān)聯(lián) 4
1.4 奇點(diǎn)的穩(wěn)定性 6
1.5 閉軌 8
1.6 同縮軌和異縮軌 9
1.7 分叉 10
1.8 混沌 10
1.9 孤立波 11
第2章 常微分方程組奇點(diǎn)的穩(wěn)定性 13
2.1 常微分方程組的奇點(diǎn)穩(wěn)定性定義 13
2.2 常微分方程組的奇點(diǎn)李雅普諾夫穩(wěn)定性判別方法 26
2.3 常微分方程組的奇點(diǎn)形式穩(wěn)定性判別方法 33
2.4 三維自治常微分方程組的泊松結(jié)構(gòu) 47
思考題 53
第3章 不變流形與中心流形定理 55
3.1 線性微分方程組解的線性不變子空間 55
3.2 不變流形定義 64
3.3 不變流形和中心流形定理 67
3.4 不變流形和中心流形的計(jì)算 69
3.5 PB規(guī)范型計(jì)算84思考題 90
第4章 平面系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類與極限環(huán) 91
4.1 平面常系數(shù)線性微分方程組奇點(diǎn)的幾何分類 91
4.2 非線性平面系統(tǒng)奇點(diǎn)的幾何性質(zhì) 96
4.3 平面系統(tǒng)周期解 99
思考題 105
第5章 同縮軌、異縮軌、龐加萊映射及其應(yīng)用 107
5.1 同縮軌和異縮軌的定義 107
5.2 同縮軌和異縮軌的計(jì)算 110
5.3 平面哈密頓系統(tǒng)相圖的畫法 111
5.4 常微分方程組解的漸近行為 113
5.5 利用同縮軌、異縮軌求解孤立波 119
5.6 異縮圈與渦旋 129
5.7 龐加萊映射和閉軌的存在性 137
思考題 146
第6章 分叉 148
6.1 分叉的基本概念 148
6.2 奇點(diǎn)分叉 150
6.3 閉軌分叉 153
6.4 余維1分叉 160
6.5 余維k分叉 164
6.6 突變與分叉 168
思考題 173
第7章 混沌 174
7.1 洛倫茲吸引子的成因 174
7.2 混沌吸引子的計(jì)算 176
7.3 李雅普諾夫指數(shù) 180
7.4 倍周期分叉導(dǎo)致混沌 185
7.5 同縮軌或異縮圈破裂導(dǎo)致混沌 187
7.6 近可積系統(tǒng)與阿諾德擴(kuò)散 205
思考題 213
第8章 求孤立波的反散射方法 215
8.1 正散射方法 215
8.2 反散射方法 216
8.3 守恒律 236
思考題 238
參考文獻(xiàn)239
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