《張量分析》盡量避免抽象的數(shù)學(xué)概念與繁難的數(shù)學(xué)推導(dǎo),代之以直觀的幾何或物理解釋、證明或驗證。書中內(nèi)容盡管在數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性上不足,但有益于數(shù)學(xué)背景知識較少的工科學(xué)生盡快熟悉和掌握張量這個有力的數(shù)學(xué)工具。此外,雖然該書重點介紹應(yīng)用廣泛的三維幾何與物理空間的張量,但許多結(jié)論可直接用于抽象的n維線性空間的張量。
《張量分析》可以作為工科專業(yè)本科生和研究生的張量入門教材。
張量可看作是向量(矢量)的一種推廣。我們知道,向量是既有大小又有方向的量。然而,在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中還會遇到更為復(fù)雜的量,對它們的描述就不能只用大小和方向,而必須應(yīng)用更多的概念。例如,在材料力學(xué)中,為了描述變形體內(nèi)的應(yīng)力,除了知道它的大小與方向外,還必須知道應(yīng)力作用面的方位。這樣的量就只能用張量的數(shù)學(xué)客體來描述。事實上,以后我們將會看到,向量和標(biāo)量均可視為張量的特例,它們分別稱為一階張量和零階張量。
客觀的自然規(guī)律本質(zhì)上與人為選擇的坐標(biāo)系無關(guān),但為了定量描述自然規(guī)律,往往需要引入適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,這就有可能對同一現(xiàn)象的描述在不同的坐標(biāo)系下得到不同形式的數(shù)學(xué)方程。用張量方程表達(dá)物理定律與幾何定理具有兩個重要的特性:第一個重要特性是方程形式的不變性,即在任何坐標(biāo)系下張量方程具有不變的形式。這一特性正好反映了自然規(guī)律與坐標(biāo)系無關(guān)這一事實。利用這一特性,我們可以在某些簡單情況以及特定的坐標(biāo)系下建立某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方程,然后把它寫成張量的形式,便可應(yīng)用到其他復(fù)雜情況及坐標(biāo)系中。在某些情況下,還可根據(jù)張量方程的不變特性直接導(dǎo)出物理方程的具體數(shù)學(xué)形式。當(dāng)然,并非所有的物理方程均可寫成張量的形式,但一個具有普遍意義的物理方程應(yīng)當(dāng)具有張量的數(shù)學(xué)形式,這一點可成為我們判別物理方程普遍性的一種方法。張量方程的第二個重要特性是方程的簡潔性。它不僅可以大大簡化方程的書寫與推導(dǎo),更有助于我們清晰地把握物理現(xiàn)象的本質(zhì)。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,張量分析這門學(xué)科已成為科學(xué)研究與工程技術(shù)中不可缺少的數(shù)學(xué)工具。可以說,對于一個21世紀(jì)的科技工作者,如果對張量分析沒有一定程度的了解,就無法讀懂許多領(lǐng)域(尤其是力學(xué)領(lǐng)域)的大部分參考文獻(xiàn),因而無法正常地開展工作。
本書是為工科專業(yè)本科生和研究生編寫的張量入門教材。假定讀者已具有高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的知識,因此凡遇到上述內(nèi)容,只須簡要地復(fù)習(xí)或直接引用其結(jié)論即可。書中盡量避免抽象的數(shù)學(xué)概念與繁難的數(shù)學(xué)推導(dǎo),代之以直觀的幾何或物理解釋、證明或驗證。書中內(nèi)容盡管在數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性上不足,但有益于數(shù)學(xué)背景知識較少的工科學(xué)生盡快熟悉和掌握張量這個有力的數(shù)學(xué)工具。此外,雖然本書重點介紹應(yīng)用最為廣泛的三維幾何與物理空間的張量,但許多結(jié)論可直接用于抽象的n維線性空間的張量。
張量分析課程內(nèi)容實際上包括張量代數(shù)與張量分析兩部分,其中,前者介紹張量的基本概念及代數(shù)運算,后者主要涉及張量的微積分。本書把笛卡兒張量與一般張量作為兩個相對獨立的單元來編寫,這樣可方便只需了解前者的讀者。
限于編者水平,書中難免有疏誤之處,懇請讀者批評指正。
第1章 向量與坐標(biāo)
1.1 向量與向量空間
1.2 點積與歐氏空間
1.3 又積與軸向量
1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向
1.5 并積與向量誘導(dǎo)空間
1.6 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換
1.6.1 坐標(biāo)系的構(gòu)成
1.6.2 坐標(biāo)變換
第2章 笛卡兒張量代數(shù)
2.1 不變量的充分必要條件
2.2 張 量
2.2.1 張量的定義
2.2.2 相對張量
2.2.3 直角坐標(biāo)系下的Eddington張量(絕對置換張量)
2.3 張量的代數(shù)運算
2.3.1 張量的線性運算
2.3.2 張量的并積與縮并運算
2.3.3 張量的叉積
2.3.4 張量的轉(zhuǎn)置
2.4 張量識別定理
2.5 張量的對稱性與反對稱性
2.5.1 對稱張量
2.5.2 反對稱張量
2.6 二階張量的若干特性
2.6.1 二階張量的對稱性分解
2.6.2 二階張量的跡、模、冪與矩陣
2.6.3 二階對稱張量的主軸與主值
2.7 各向同性張量
2.7.1 各向同性張量的構(gòu)成
2.7.2 二階張量的跡分解
第3章 笛卡兒張量分析
3.1 張量函數(shù)與張量場
3.2 一元張量函數(shù)的微分
3.2.1 張量的導(dǎo)數(shù)定義
3.2.2 張量函數(shù)的求導(dǎo)法則
3.2.3 張量函數(shù)的微分
3.3 張量場的微分
3.3.1 張量場的偏導(dǎo)數(shù)
3.3.2 全微分與張量的梯度
3.3.3 張量的全導(dǎo)數(shù)(物質(zhì)導(dǎo)數(shù))
3.3.4 微元通量與張量的散度
3.3.5 環(huán)量密度與張量的旋度
3.4 張量場的積分
3.4.1 一元張量函數(shù)積分
3.4.2 體積分、面積分、線積分
3.4.3 積分定理
第4章 一般張量
4.1 一般坐標(biāo)系中的基向量
4.2 坐標(biāo)變換與一般張量
4.2.1 基向量的變換
4.2.2 一般張量及其變換
4.2.3 一般相對張量
4.3 置換張量(Eddington張量)
4.4 張量代數(shù)
4.4.1 代數(shù)運算
4.4.2 識別定理
4.4.3 張量的對稱性與反對稱性
4.4.4 度量張量
4.4.5 張量的物理分量
4.4.6 二階張量
4.4.7 張量分量方程的不變性
4.5 張量分析
4.5.1 向量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)
4.5.2 C(Christoffel)符號
……
附錄A 各向同性張量分量的構(gòu)成
附錄B 任意形狀微元的通量公式
參考文獻(xiàn)