前 言

現(xiàn)在，我們的世界比過去任何時候都依賴數(shù)字，某些數(shù)字甚至擁有專屬名稱，比如圓周率π、自然常數(shù)e 等等。

在這之中有一個特別有意思的數(shù)字，它就是1.6180339887， 可以簡化為1.61 或0.618。事實證明，它的名氣大過π 和e，讓更多的杰出人物為之著迷。人們懷著敬畏之心為它取了如黃金數(shù)（golden number）、超越比例（transcendental ratio）、神圣之數(shù)（divine number）、神圣比例（divine ratio）等一連串名字…… 而我們通常把它稱為黃金比例（golden ratio），用希臘字母Φ （phi）表示。黃金比例在數(shù)學領(lǐng)域有著特殊的地位，它的數(shù)字性質(zhì)奇妙無比，與自然和人類的造物都有著某些未知的聯(lián)系。作為“萬物皆數(shù)學”系列叢書之一，本書愿意引領(lǐng)讀者走進黃金比例的奇妙世界，成為讀者手中的“旅行指南”。

本書將審視從古至今存在于科學、藝術(shù)中數(shù)不勝數(shù)的黃金比例，還有它在動植物形態(tài)學（研究事物形狀和形態(tài)的學科） 中發(fā)揮的重要作用。一旦對黃金比例有了一定認識，我們就能夠深入發(fā)掘它的奇特之處。這趟旅程以歐幾里得的《幾何原本》（歷史上最暢銷的科學書籍）為起點，途經(jīng)文藝復(fù)興時期佛羅倫薩熱鬧的街頭，與當時最為杰出的列奧納多·達·芬奇碰面。

黃金比例的奇妙在于它能夠?qū)⒆陨淼膬?yōu)美賦予各種各樣的圖形，從三角形到擁有二十個面的幾何體（二十面體）都是它的杰作。但是在那令人敬畏的名稱背后，黃金比例其實就隱藏在常見的幾何物體中，比如生活中隨處可見的信用卡和五角星。所謂的“黃金矩形”是指鄰邊之比恰好符合黃金比例的矩形， 而信用卡就是這樣的矩形。a 如果黃金矩形無處不在，那么螺線或五角星又有什么特別之處？答案是二者都與黃金比例有著密切的聯(lián)系，并且經(jīng)常出現(xiàn)在建筑、鑲嵌藝術(shù)甚至是棋盤游戲中。

然而黃金比例最令人驚訝的是它與抽象概念之間的聯(lián)系。舉例來說，我們認為它象征著優(yōu)雅與完美，而這一點已經(jīng)眾所周知。在這場令人神往的旅行中，陪伴我們的都是頂級向?qū)В?達·芬奇、勒·柯布西耶以及其他大師級的人物，他們都鐘情于黃金比例那純粹的和諧。如果我們厭倦了人類的發(fā)明創(chuàng)造， 不妨將目光轉(zhuǎn)向身邊的大自然，置身其中同樣可以發(fā)現(xiàn)黃金比例，許多生物都是按照黃金比例生長的。最近才為數(shù)學家所了解的分形（fractal）理論也展現(xiàn)出了與黃金比例有關(guān)的特性。

在漫長旅程的最后，我會為你奉上數(shù)學專著的節(jié)選，相信這些專業(yè)書籍會帶你更加深入地探索黃金比例的世界。

第五章

黃金比例與自然

請你在腦海中想象出一個非常簡單的矩形。它如何在形狀不變的情況下增大？常識告訴我們，整個矩形必須均勻地增大，也就是說，在所有的方向上都以相同的比例增大。這就好像矩形的每條邊都是有彈性的，一點一點地被小心拉長。矩形的自然增大意味著各邊以相同的速度變長，這種假設(shè)好像符合邏輯，但這樣會導致臨邊之比發(fā)生改變，增大的矩形也會因此失去原有的形狀。

生長形態(tài)

我們在第二章中已經(jīng)證明，在黃金矩形的長邊一側(cè)增加一個邊長與之相等的正方形，這樣就得到了另一個黃金矩形。因為所有黃金矩形的臨邊之比相同（都等于Φ），所以它的尺寸增大但形狀保持不變。同理，我們從黃金矩形中去掉一個正方形后得到的還是黃金矩形。由此可以確定黃金矩形的磬折形是正方形。只有黃金矩形才具有這一性質(zhì)。因此要想保持形狀不變，可以使用黃金比例來改變事物的大小。我們可以通過觀察生物的生長來進行驗證，這一性質(zhì)在植物身上尤為明顯。

為了理解“保持形狀”究竟是什么意思，首先請思考一下人類。隨著我們的成長，人體的比例是否會一直不變？答案肯定是不會。應(yīng)該說人類的成長是一個身體比例不斷變化的過程。雖然這并沒有什么大不了，但隨著年齡的增長，身體比例發(fā)生變化是一件好事。如果我們的身體比例從出生時就保持不變，那么要想讓頭部直立起來都會非常困難。

從另一方面我們也看到，黃金螺線在旋轉(zhuǎn)增大的過程中與其他螺線有著本質(zhì)上的區(qū)別。蘇格蘭的生物學家達西·湯普森（1860—1948）被認為是首位“生物數(shù)學家”。他指出，在不改變整體外形的情況下，某些生物的生長方式具有對數(shù)螺線的特點，與其他數(shù)學曲線沒有任何關(guān)系：“對于任何從固定極點出發(fā)的平面曲線來說，兩條極線與該曲線會圍成一個以極點為頂點、不斷增大的扇形，如果這個扇形的磬折形總是它的前一個扇形，那么這種曲線就是對數(shù)螺線�！�

昆蟲會沿著黃金螺線的軌跡接近光源。如果我們希望在靠近而不是遠離固定點的過程中保持轉(zhuǎn)向的角度不變，那么我們只能按照黃金螺線的軌跡行走。猛禽在撲向獵物時也保持著這種軌跡，只有這樣它們才能保持頭部抬起，在最大加速過程中讓獵物一直出現(xiàn)在視野的相同位置。

生物的黃金比例

達·芬奇通過《維特魯威人》做出假設(shè)，認為動物世界中充滿黃金比例。從那時起，人們在藝術(shù)、科學領(lǐng)域?qū)θ梭w不同的部位與黃金比例之間的關(guān)系進行了大量的研究。然而人體尺寸在中世紀就已經(jīng)用作度量的標準。法國各個大教堂的建造者都使用一種由五個活節(jié)連桿組成的測量工具，五節(jié)的長度分別表示掌寬、小指尖到食指尖的最大距離——指距、小指尖到拇指尖的最大距離—手距、腳長以及肘部到指尖的距離——肘長。

所有這些長度都是一個更小單位的倍數(shù)，人們稱其為“法分”（等于1 / 12 法寸），略小于2.5 毫米（更準確的數(shù)值為2.247 毫米）。下表是轉(zhuǎn)換為公制單位后的計量長度。我們可以看到，第二列中的數(shù)字是斐波那契數(shù)列的連續(xù)項，因此相鄰長度之間的比為黃金比例。這越發(fā)地不可思議，因為人們一開始是將任意選取的人體部位作為計量單位的。

葉序與黃金比例

“Phyllotaxis”（葉序）是由希臘詞語“phyllo”（葉子）和“taxis”（順序）組成。葉序這個詞源自植物學領(lǐng)域，研究的是葉在植物莖上的排列方式。我們下面就會看到，葉序似乎遵循著幾何與數(shù)字原理。通過對葉序的研究，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了某些驚人的自然生長系統(tǒng)，這些系統(tǒng)似乎完全符合某些數(shù)學特點。

我們首先會看到，植物的葉子從來不會重疊生長。如果重疊生長，某些葉子就會遮住其他葉子所需要的陽光。為了避免這種情況，葉子需要特定的生長方式。通過詳細的分析，人們已經(jīng)可以從數(shù)學的角度對這種生長方式加以描述。

達·芬奇首先揭示了葉子生長的關(guān)鍵原理。這位偉大的天才意識到葉子沿著莖干以螺線狀排列，每五片為一組完成一個生長循環(huán)，這說明五片葉子的總旋轉(zhuǎn)角度是1 / 5 的倍數(shù)。后來，開普勒觀察到花朵通常是五邊形、有五片花瓣，水果籽也經(jīng)常排列為五角星形，比如常見的蘋果。

19 世紀，多虧了德國博物學家卡爾·申佩爾（1803— 1867）和法國晶體學家奧古斯特·布拉維（1811—1863），數(shù)學和葉序才開始被聯(lián)系到一起。兩人都注意到，松果的鱗片數(shù)量是斐波那契數(shù)列中的連續(xù)項。他們的研究表明，決定葉序排列方式的因素可以通過斐波那契數(shù)列相鄰項的比值來表示。

從那以后，斐波那契數(shù)列和植物學就結(jié)合在了一起。1968 年，美國數(shù)學家艾爾雷德·布羅索研究了10 種加利福尼亞松樹的4 290 顆松果并證明，僅有74 顆松果為特例，其余的全部符合斐波那契數(shù)列。樣本的符合率為98.3％。經(jīng)過相當長的一段時間后，科學界對此提出質(zhì)疑并在1992 年又重復(fù)了這項實驗。這種事情經(jīng)常發(fā)生。加拿大植物學家羅歇·V. 讓擴大了研究范圍，他觀察了650 種松樹的12 750 顆松果。這一次有92% 的樣本符合斐波那契數(shù)列。

大部分高莖植物的葉子以螺線狀分布，而且大都遵循著一種特定的分散規(guī)律，這種規(guī)律可見于所有植物物種，即兩片連續(xù)的葉子構(gòu)成的角度不變，我們將其稱為“發(fā)散角”。發(fā)散角既可以用度數(shù)表示，也可以用分數(shù)表示，其中分子是從莖上的一片葉子到它上面相同位置的葉子旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，分母是在這兩片葉子之間沿螺線生長的葉子總數(shù)。

在斐波那契數(shù)列中，某一項與它之后的第二項的比，即an / an+2 組成了申佩爾—布勞恩級數(shù)，它根據(jù)葉子不同的分散角度對許多物種進行了分類。如果我們還記斐波那契數(shù)列中兩個連續(xù)項，即an+1 / an 的比值不斷趨近于黃金比例，那么就可以說申佩爾—布勞恩級數(shù)的比值不斷趨近于1 / Φ2。數(shù)學證明如下：

真正的難題是植物如何“知道”它們必須按照斐波那契數(shù)列排列葉子。下面告訴你答案。植物的莖上有一個圓錐形的生長點。我們從植物上方觀察就會發(fā)現(xiàn)，最先長出的葉子通常以莖為中心向外伸展。布拉維發(fā)現(xiàn)，每片新葉與上一片葉子的角度大約為137.5°。通過計算（360°是一整圈），我們得到了137.5°角，有時人們把這個角稱為黃金角。

1984年，由N·里維耶率領(lǐng)的一組科學家反其道而行之，通過數(shù)學來研究植物學。他們發(fā)現(xiàn)，讓葵花籽的生長角度等于黃金角，用數(shù)學算法得到的向日葵花盤會與真實的排列結(jié)構(gòu)相似。里維耶的結(jié)論很有意思：由于生物需要同質(zhì)性和相似的結(jié)構(gòu)，因而大大限制了它們可能的生長形態(tài)。反過來，這條結(jié)論也可以解釋為什么斐波那契數(shù)列和黃金比例會頻繁地出現(xiàn)在葉序中。其他與磁場有關(guān)的實驗也在其中發(fā)現(xiàn)了黃金螺線狀的結(jié)構(gòu)。