《高等數(shù)學競賽題解析教程(2021)》依據(jù)全國大學生數(shù)學競賽大綱與江蘇省普通高等學校高等數(shù)學競賽大綱,并參照教育部制定的考研數(shù)學考試大綱編寫而成,內容分為極限與連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微分學、二重積分與三重積分、曲線積分與曲面積分、空間解析幾何、級數(shù)、微分方程等九個專題,每個專題含“基本概念與內容提要”“競賽題與精選題解析”與“練習題”三個部分。其中,競賽題選自全國大學生數(shù)學競賽試題(非數(shù)學專業(yè)組),江蘇省、北京市、浙江省、廣東省等省市大學生數(shù)學競賽試題,南京大學、東南大學、清華大學等高校高等數(shù)學競賽試題,莫斯科大學等國外高校大學生數(shù)學競賽試題;另外,從近幾年全國碩士研究生入學考試試題中也挑選了一些“好題”,作為《高等數(shù)學競賽題解析教程(2021)》的有力補充。這些題目中既含基本題,又含很多構思巧妙、解題技巧性強,具有較高水平和較大難度的創(chuàng)新題,《高等數(shù)學競賽題解析教程(2021)》逐條解析,深入分析,并總結解題方法與技巧。
《高等數(shù)學競賽題解析教程(2021)》可作為準備高等數(shù)學競賽的老師和學生的培優(yōu)教程,也可作為各類高等學校的大學生學習高等數(shù)學和考研的輔導教程,特別有益于成績優(yōu)秀的大學生提高高等數(shù)學水平。
高等數(shù)學(或稱大學數(shù)學)是一年級大學生的基礎課程,為加強普通高校的數(shù)學教學工作,提高教學質量,自2009年起,中國數(shù)學會已主辦了十一屆全國大學生數(shù)學競賽(分非數(shù)學專業(yè)組與數(shù)學專業(yè)組);江蘇省高等學校數(shù)學教學研究會從1991年至今也已主辦了十七屆大學生高等數(shù)學競賽,參賽類別分為本科一級A、本科一級B、本科二級、?频人念;北京市、浙江省以及一些高等院校內部也常常組織大學生數(shù)學競賽。
大學生數(shù)學競賽的宗旨是貫徹教育部關于普通高校要注重素質教育的指示,激勵大學生學習高等數(shù)學的興趣,培養(yǎng)大學生對高等數(shù)學的熱愛,加強高等學校教師與學生對高等數(shù)學的重視,以及促進高等學校對創(chuàng)新人才的發(fā)現(xiàn)、選拔與培養(yǎng)。它要求學生能夠系統(tǒng)地理解高等數(shù)學的基本概念和基本理論,掌握數(shù)學的基本方法,并具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。大學生數(shù)學競賽給廣大學生提供了一個展示自己數(shù)學智慧和能力的平臺,越來越受到高校師生的認可、重視和歡迎,大家的參賽熱情很高。
本書依據(jù)全國大學生數(shù)學競賽大綱與江蘇省普通高等學校高等數(shù)學競賽大綱,并參照教育部制定的考研數(shù)學考試大綱編寫而成,內容分為極限與連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微分學、二重積分與三重積分、曲線積分與曲面積分、空間解析幾何、級數(shù)、微分方程等九個專題,每個專題含“基本概念與內容提要”“競賽題與精選題解析”與“練習題”三個部分。其中,競賽題選自全國大學生數(shù)學競賽試題(非數(shù)學專業(yè)組1-11屆預賽與1-10屆決賽),江蘇。1-17屆)、北京市(1-15屆)、浙江。1-10屆及2016-2019年)、廣東省等省市大學生數(shù)學競賽試題,南京大學、東南大學、清華大學、上海交通大學、西安交通大學等高校高等數(shù)學競賽試題,莫斯科大學等國外高校大學生數(shù)學競賽試題;從近幾年全國碩士研究生入學考試試題中也精心挑選了不少“好題”,還有些“好題”在競賽和考研試卷中都沒有出現(xiàn)過,為此本書在每個專題中增加了不少“精選題”,大大豐富了本書的內涵。這些題目中既含基本題,又含很多構思巧妙、解題技巧性強,具有較高水平和較大難度的創(chuàng)新題,本書逐條解析,深入分析,并總結解題方法與技巧。
陳仲,南京大學數(shù)學系教授。曾任全國高等數(shù)學研究會常務理事,并參加國家理科“高等數(shù)學”試題庫建設;曾任江蘇省研究生入學考試數(shù)學閱卷領導小組副組長、江蘇省普通高校高等數(shù)學競賽命題組組長。曾獲江蘇省一類優(yōu)秀課程獎,兩次獲江蘇省優(yōu)秀教學成果二等獎;曾獲南京大學“十佳教師”,連續(xù)三年被南京大學學生評為我喜愛的老師,獲“浦苑恒星”。著作有《微分方程》《微積分學引論》(上、下冊)《碩士生入學考試歷年數(shù)學試題解析》《大學數(shù)學典型題解析》《大學數(shù)學教程》(上、下冊)《微積分習題與試題解析教程》等。
專題1 極限與連續(xù)
1.1 基本概念與內容提要
1.1.1 一元函數(shù)基本概念
1.1.2 數(shù)列的極限
1.1.3 函數(shù)的極限
1.1.4 證明數(shù)列或函數(shù)極限存在的方法
1.1.5 無窮小量
1.1.6 無窮大量
1.1.7 求數(shù)列或函數(shù)的極限的方法
1.1.8 函數(shù)的連續(xù)性
1.2 競賽題與精選題解析
1.2.1 求函數(shù)的表達式(例1.1-1.3)
1.2.2 利用極限的性質與四則運算求極限(例1.4-1.13)
1.2.3 利用夾逼準則與單調有界準則求極限(例1.14-1.18)
1.2.4 利用重要極限與等價無窮小替換求極限(例1.19-1.26)
1.2.5 無窮小比較與無窮大比較(例1.27-1.28)
1.2.6 連續(xù)性與間斷點(例1.29-1.31)
1.2.7 利用介值定理的證明題(例1.32-1.36)
練習題一
專題2 一元函數(shù)微分學
2.1 基本概念與內容提要
2.1.1 導數(shù)的定義
2.1.2 左、右導數(shù)的定義
2.1.3 微分概念
2.1.4 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
2.1.5 求導法則
2.1.6 高階導數(shù)
2.1.7 微分中值定理
2.1.8 泰勒公式與馬克勞林公式
2.1.9 洛必達法則
2.1.10 導數(shù)在幾何上的應用
2.2 競賽題與精選題解析
2.2.1 利用導數(shù)的定義解題(例2.1-2.6)
2.2.2 利用求導法則解題(例2.7-2.8)
2.2.3 求高階導數(shù)(例2.9-2.18)
2.2.4 與微分中值定理有關的證明題(例2.19-2.40)
2.2.5 馬克勞林公式與泰勒公式的應用(例2.41-2.59)
2.2.6 利用洛必達法則求極限(例2.60-2.68)
2.2.7 導數(shù)的應用(例2.69-2.81)
2.2.8 不等式的證明(例2.82-2.92)
練習題二
專題3 一元函數(shù)積分學
3.1 基本概念與內容提要
3.1.1 不定積分基本概念
3.1.2 基本積分公式
3.1.3 不定積分的計算
3.1.4 定積分基本概念
3.1.5 定積分中值定理
3.1.6 變限的定積分
3.1.7 定積分的計算
3.1.8 奇偶函數(shù)與周期函數(shù)定積分的性質
3.1.9 定積分在幾何與物理上的應用
3.1.10 反常積分
3.2 競賽題與精選題解析
3.2.1 求不定積分(例3.1-3.16)
3.2.2 利用定積分的定義與性質求極限(例3.17-3.23)
3.2.3 應用積分中值定理解題(例3.24-3.26)
3.2.4 變限的定積分的應用(例3.27-3.34)
3.2.5 定積分的計算(例3.35-3.54)
3.2.6 定積分在幾何與物理上的應用(例3.55-3.65)
3.2.7 積分不等式的證明(例3.66-3.86)
3.2.8 積分等式的證明(例3.87-3.91)
3.2.9 反常積分(例3.92-3.98)
練習題三
……
專題4 多元函數(shù)微分學
專題5 二重積分與三重積分
專題6 曲線積分與曲面積分
專題7 空間解析幾何
專題8 級數(shù)
專題9 微分方程
練習題答案與提示