第 1章 通過代碼學數(shù)學　　1 1.1　使用數(shù)學和軟件解決商業(yè)問題　2 1.1.1　預測金融市場走勢　2 1.1.2　尋找優(yōu)質(zhì)交易　4 1.1.3　構(gòu)建三維圖形和動畫　6 1.1.4　對物理世界建�！�8 1.2　如何高效學習數(shù)學　9 1.2.1　Jane想學習數(shù)學　9 1.2.2　在數(shù)學課本中苦苦掙扎　10 1.3　用上你訓練有素的左腦　11 1.3.1　使用正式的語言　11 1.3.2　構(gòu)建你自己的計算器　12 1.3.3　用函數(shù)建立抽象概念　13 1.4　小結(jié)　14 第　一部分 向量和圖形 第　2章 二維向量繪圖　16 2.1　二維向量繪圖　16 2.1.1　如何表示二維向量　18 2.1.2　用Python繪制二維圖形　20 2.1.3　練習　23 2.2　平面向量運算　25 2.2.1　向量的分量和長度　28 2.2.2　向量與數(shù)相乘　29 2.2.3　減法、位移和距離　31 2.2.4　練習　34 2.3　平面上的角度和三角學　41 2.3.1　從角度到分量　42 2.3.2　Python中的三角學和弧度　46 2.3.3　從分量到角度　47 2.3.4　練習　50 2.4　向量集合的變換　57 2.4.1　組合向量變換　59 2.4.2　練習　60 2.5　用Matplotlib繪圖　61 2.6　小結(jié)　62 第3章　上升到三維世界　63 3.1　在三維空間中繪制向量　64 3.1.1　用坐標表示三維向量　66 3.1.2　用Python進行三維繪圖　66 3.1.3　練習　68 3.2　三維空間中的向量運算　70 3.2.1　添加三維向量　70 3.2.2　三維空間中的標量乘法　72 3.2.3　三維向量減法　72 3.2.4　計算長度和距離　73 3.2.5　計算角度和方向　74 3.2.6　練習　75 3.3　點積：測量向量對齊　78 3.3.1　繪制點積　78 3.3.2　計算點積　80 3.3.3　點積的示例　82 3.3.4　用點積測量角度　83 3.3.5　練習　85 3.4　向量積：測量定向區(qū)域　88 3.4.1　在三維空間中確定自己的朝向　88 3.4.2　找到向量積的方向　89 3.4.3　求向量積的長度　91 3.4.4　計算三維向量的向量積　92 3.4.5　練習　93 3.5　在二維平面上渲染三維對象　96 3.5.1　使用向量定義三維對象　97 3.5.2　二維投影　98 3.5.3　確定面的朝向和陰影　99 3.5.4　練習　101 3.6　小結(jié)　102 第4章　變換向量和圖形　103 4.1　變換三維對象　105 4.1.1　繪制變換后的對象　105 4.1.2　組合向量變換　107 4.1.3　繞軸旋轉(zhuǎn)對象　110 4.1.4　創(chuàng)造屬于你自己的幾何變換　113 4.2　線性變換　117 4.2.1　向量運算的不變性　117 4.2.2　圖解線性變換　119 4.2.3　為什么要做線性變換　121 4.2.4　計算線性變換　124 4.2.5　練習　127 4.3　小結(jié)　132 第5章　使用矩陣計算變換　134 5.1　用矩陣表示線性變換　135 5.1.1　把向量和線性變換寫成矩陣形式　135 5.1.2　矩陣與向量相乘　136 5.1.3　用矩陣乘法組合線性變換　138 5.1.4　實現(xiàn)矩陣乘法　140 5.1.5　用矩陣變換表示三維動畫　141 5.1.6　練習　142 5.2　不同形狀矩陣的含義　148 5.2.1　列向量組成的矩陣　149 5.2.2　哪些矩陣可以相乘　151 5.2.3　將方陣和非方陣視為向量函數(shù)　152 5.2.4　從三維到二維的線性映射投影　154 5.2.5　組合線性映射　156 5.2.6　練習　157 5.3　用矩陣平移向量　163 5.3.1　線性化平面平移　163 5.3.2　尋找做二維平移的三維矩陣　167 5.3.4　在四維世界里平移三維對象　170 5.4　小結(jié)　174 第6章　高維泛化　176 6.1　泛化向量的定義　177 6.1.1　為二維坐標向量創(chuàng)建一個類　178 6.1.3　使用同樣的方法定義三維向量　179 6.1.4　構(gòu)建向量基類　180 6.1.5　定義向量空間　182 6.1.6　對向量空間類進行單元測試　185 6.2　探索不同的向量空間　188 6.2.1　枚舉所有坐標向量空間　188 6.2.2　識別現(xiàn)實中的向量　190 6.2.3　將函數(shù)作為向量處理　192 6.2.4　將矩陣作為向量處理　194 6.2.5　使用向量運算來操作圖像　195 6.2.6　練習　198 6.3　尋找更小的向量空間　205 6.3.1　定義子空間　205 6.3.2　從單個向量開始　207 6.3.3　生成更大的空間　207 6.3.4　定義“維度”的概念　209 6.3.5　尋找函數(shù)向量空間的子空間　210 6.3.6　圖像的子空間　212 6.3.7　練習　214 6.4　小結(jié)　220 第7章　求解線性方程組　222 7.1　設計一款街機游戲　223 7.1.1　游戲建模　223 7.1.2　渲染游戲　224 7.1.3　發(fā)射激光　225 7.1.4　練習　226 7.2　找到直線的交點　227 7.2.1　為直線選擇正確的公式　227 7.2.2　直線的標準形式方程　229 7.2.3　線性方程組的矩陣形式　231 7.2.4　使用NumPy求解線性方程組　233 7.2.6　識別不可解方程組　234 7.2.7　練習　236 7.3　將線性方程泛化到更高維度　240 7.3.1　在三維空間中表示平面　240 7.3.2　在三維空間中求解線性方程組　243 7.3.4　計算維數(shù)、方程和解　245 7.3.5　練習　246 7.4　通過解線性方程來改變向量的基　253 7.4.1　在三維空間中求解　255 7.4.2　練習　256 7.5　小結(jié)　257 第二部分　微積分和物理仿真 第8章　理解變化率　261 8.1　根據(jù)體積計算平均流速　262 8.1.1　實現(xiàn)average_flow_rate函數(shù)　263 8.1.2　用割線描繪平均流速　264 8.1.3　負變化率　265 8.1.4　練習　266 8.2　繪制隨時間變化的平均流速　266 8.2.1　計算不同時間段內(nèi)的平均流速　267 8.2.2　繪制間隔流速圖　268 8.2.3　練習　270 8.3　瞬時流速的近似值　271 8.3.1　計算小割線的斜率　272 8.3.2　構(gòu)建瞬時流速函數(shù)　274 8.3.3　柯里化并繪制瞬時流速函數(shù)　277 8.4　體積變化的近似值　278 8.4.1　計算短時間間隔內(nèi)的體積變化　279 8.4.2　將時間分割成更小的間隔　280 8.4.3　在流速圖上繪制體積變化的圖形　280 8.4.4　練習　283 8.5　繪制隨時間變化的體積圖　283 8.5.1　計算隨時間變化的體積　283 8.5.2　繪制體積函數(shù)的黎曼和　285 8.5.3　提升近似結(jié)果的精確度　286 8.5.4　定積分和不定積分　288 8.6　小結(jié)　290 第9章　模擬運動的對象　291 9.1　模擬勻速運動　291 9.1.1　給小行星設置速度　292 9.1.2　更新游戲引擎，讓小行星運動　292 9.1.3　保持小行星在屏幕上　293 9.1.4　練習　295 9.2　模擬加速　295 9.3　深入研究歐拉方法　296 9.3.1　手動計算歐拉方法　297 9.3.2　使用 Python 實現(xiàn)算法　298 9.4　用更小的時間步執(zhí)行歐拉方法　300 9.5　小結(jié)　305 第　10章 使用符號表達式　306 10.1　用計算機代數(shù)系統(tǒng)計算精確的導數(shù)　309 10.2.1　將表達式拆分成若干部分　310 10.2.3　使用Python語言實現(xiàn)表達式樹　311 10.2.4　練習　313 10.3　符號表達式的應用　315 10.3.1　尋找表達式中的所有變量　317 10.3.3　表達式展開　319 10.3.4　練習　321 10.4　求函數(shù)的導數(shù)　323 10.4.1　冪的導數(shù)　324 10.4.2　變換后函數(shù)的導數(shù)　324 10.4.3　一些特殊函數(shù)的導數(shù)　326 10.4.4　乘積與組合的導數(shù)　327 10.4.5　練習　328 10.5　自動計算導數(shù)　330 10.5.1　實現(xiàn)表達式的導數(shù)方法　330 10.5.2　實現(xiàn)乘積法則和鏈式法則　332 10.5.4　練習　334 10.6　符號化積分函數(shù)　335 10.6.1　積分作為反導數(shù)　335 10.6.2　SymPy庫介紹　336 10.6.3　練習　337 10.7　小結(jié)　338 第　11章 模擬力場　339 11.1　用向量場對引力建�！�339 11.2　引力場建�！�342 11.2.1　定義一個向量場　343 11.2.2　定義一個簡單的力場　344 11.3　把引力加入小行星游戲　345 11.3.1　讓游戲中的對象感受到引力　346 11.3.2　練習　349 11.4　引入勢能　350 11.4.1　定義勢能標量場　351 11.4.2　將標量場繪制成熱圖　352 11.4.3　將標量場繪制成等高線圖　354 11.5.1　用橫截面測量陡度　354 11.5.2　計算偏導數(shù)　356 11.5.3　用梯度求圖形的陡度　357 11.5.4　用勢能的梯度計算力場　359 11.5.5　練習　361 11.6　小結(jié)　364 第　12章 優(yōu)化物理系統(tǒng)　365 12.1　測試炮彈模擬器　367 12.1.1　用歐拉方法建立模擬器　368 12.1.2　測量彈道的屬性　369 12.1.3　探索不同的發(fā)射角度　370 12.1.4　練習　371 12.2　計算最佳射程　373 12.2.1　求炮彈射程關(guān)于發(fā)射角的函數(shù)　373 12.2.2　求最大射程　376 12.2.3　確定最大值和最小值　378 12.2.4　練習　379 12.3　增強模擬器　381 12.3.1　添加另一個維度　381 12.3.2　在炮彈周圍建立地形模型　383 12.3.4　練習　386 12.4　利用梯度上升優(yōu)化范圍　388 12.4.1　繪制射程與發(fā)射參數(shù)的關(guān)系圖　388 12.4.2　射程函數(shù)的梯度　389 12.4.3　利用梯度尋找上坡方向　390 12.4.4　實現(xiàn)梯度上升　392 12.4.5　練習　395 12.5　小結(jié)　399 第　13章 用傅里葉級數(shù)分析聲波　400 13.1　聲波的組合和分解　401 13.2　用Python播放聲波　402 13.2.1　產(chǎn)生第 一個聲音　402 13.2.2　演奏音符　405 13.2.3　練習　406 13.3　把正弦波轉(zhuǎn)化為聲音　406 13.3.1　用正弦函數(shù)制作音頻　406 13.3.2　改變正弦函數(shù)的頻率　408 13.3.3　對聲波進行采樣和播放　409 13.3.4　練習　411 13.4　組合聲波得到新的聲波　412 13.4.1　疊加聲波的樣本來構(gòu)造和弦　412 13.4.2　兩個聲波疊加后的圖形　413 13.4.3　構(gòu)造正弦波的線性組合　414 13.4.4　用正弦波構(gòu)造一個熟悉的函數(shù)　416 13.4.5　練習　419 13.5　將聲波分解為傅里葉級數(shù)　419 13.5.1　用內(nèi)積確定向量分量　420 13.5.2　定義周期函數(shù)的內(nèi)積　421 13.5.3　實現(xiàn)一個函數(shù)來計算傅里葉系數(shù)　423 13.5.4　求方波的傅里葉系數(shù)　424 13.5.5　其他波形的傅里葉系數(shù)　424 13.5.6　練習　426 13.6　小結(jié)　428 第三部分　機器學習的應用 第　14章 數(shù)據(jù)的函數(shù)擬合　431 14.1　衡量函數(shù)的擬合質(zhì)量　433 14.1.1　計算數(shù)據(jù)與函數(shù)的距離　434 14.1.2　計算誤差的平方和　436 14.1.3　計算汽車價格函數(shù)的代價　440 14.2　探索函數(shù)空間　441 14.2.1　繪制通過原點的直線的代價　442 14.2.2　所有線性函數(shù)的空間　443 14.2.3　練習　445 14.3　使用梯度下降法尋找最佳擬合線　445 14.3.1　縮放數(shù)據(jù)　445 14.3.2　找到并繪制最佳擬合線　446 14.3.3　練習　447 14.4　非線性函數(shù)擬合　448 14.4.1　理解指數(shù)函數(shù)的行為　448 14.4.2　尋找最佳擬合的指數(shù)函數(shù)　451 14.5　小結(jié)　453 第　15章 使用logistic回歸對數(shù)據(jù)分類　455 15.1　用真實數(shù)據(jù)測試分類函數(shù)　456 15.1.1　加載汽車數(shù)據(jù)　457 15.1.2　測試分類函數(shù)　458 15.1.3　練習　458 15.2　繪制決策邊界　460 15.2.1　繪制汽車的向量空間　460 15.2.2　繪制更好的決策邊界　461 15.2.3　實現(xiàn)分類函數(shù)　462 15.2.4　練習　463 15.3　將分類問題構(gòu)造為回歸問題　464 15.3.1　縮放原始汽車數(shù)據(jù)　464 15.3.2　衡量汽車的“寶馬性”　465 15.3.3　sigmoid函數(shù)　467 15.3.4　將sigmoid函數(shù)與其他函數(shù)組合　468 15.3.5　練習　470 15.4　探索可能的logistic函數(shù)　471 15.4.1　參數(shù)化logistic函數(shù)　472 15.4.2　衡量logistic函數(shù)的擬合質(zhì)量　472 15.4.3　測試不同的logistic函數(shù)　474 15.4.4　練習　475 15.5　尋找最佳logistic函數(shù)　477 15.5.1　三維中的梯度下降法　477 15.5.2　使用梯度下降法尋找最佳擬合　478 15.5.3　測試和理解最佳logistic分類器　479 15.5.4　練習　481 15.6　小結(jié)　483 第　16章 訓練神經(jīng)網(wǎng)絡　484 16.1　用神經(jīng)網(wǎng)絡對數(shù)據(jù)進行分類　485 16.2　手寫數(shù)字圖像分類　486 16.2.1　構(gòu)建64維圖像向量　487 16.2.2　構(gòu)建隨機數(shù)字分類器　488 16.2.3　測試數(shù)字分類器的表現(xiàn)　489 16.2.4　練習　490 16.3　設計神經(jīng)網(wǎng)絡　491 16.3.1　組織神經(jīng)元和連接　492 16.3.2　神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)據(jù)流　492 16.3.3　計算激活值　495 16.3.4　用矩陣表示法計算激活值　498 16.4　用Python構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡　499 16.4.1　用Python實現(xiàn)MLP類　500 16.4.2　評估MLP　502 16.4.3　測試MLP的分類效果　503 16.4.4　練習　504 16.5　使用梯度下降法訓練神經(jīng)網(wǎng)絡　504 16.5.1　將訓練構(gòu)造為最小化問題　505 16.5.3　使用scikit-learn自動訓練　507 16.6　使用反向傳播計算梯度　509 16.6.1　根據(jù)最后一層的權(quán)重計算代價　509 16.6.2　利用鏈式法則計算最后一層權(quán)重的偏導數(shù)　510 16.6.3　練習　512 16.7　小結(jié)　513 附錄A　準備Python（圖靈社區(qū)下載） 附錄B　Python技巧和竅門（圖靈社區(qū)下載） 附錄C　使用OpenGL和PyGame加載和渲染三維模型（圖靈社區(qū)下載） 附錄D　數(shù)學符號參考（圖靈社區(qū)下載）