目 錄 第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1 第一節(jié)一元函數(shù)1 一、集合(1)二、函數(shù)的概念(2)三、函數(shù)的性質(zhì)(4) 四、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)(7)五、基本初等函數(shù)(9)六、初等函數(shù)(13) 七、函數(shù)的參數(shù)表示和極坐標(biāo)表示（13）思考題1.1(15)習(xí)題1.1(16) 第二節(jié)極限的概念17 一、引言(17)二、數(shù)列的極限(17)三、函數(shù)的極限(21) 思考題1.2(27)習(xí)題1.2(27) 第三節(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量28 一、無(wú)窮小量(28)二、無(wú)窮大量(29)三、無(wú)窮小量的性質(zhì)(31) 思考題1.3(33)習(xí)題1.3(33) 第四節(jié)極限的運(yùn)算法則與性質(zhì)34 一、極限的運(yùn)算法則(34)二、極限的性質(zhì)(38) 思考題1.4(39)習(xí)題1.4(40) 第五節(jié)兩個(gè)重要極限40 一、極限存在準(zhǔn)則(41)二、兩個(gè)重要極限(43)*三、柯西收斂準(zhǔn)則(48) 思考題1.5(48)習(xí)題1.5(49) 第六節(jié)無(wú)窮小量的比較49 一、問題的引入(50)二、無(wú)窮小量的比較(50)三、利用等價(jià)無(wú)窮小量求極限(51) 思考題1.6(53)習(xí)題1.6(53) 第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性54 一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)(54)二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(59) 三、初等函數(shù)的連續(xù)性(61)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(62) 思考題1.7(65)習(xí)題1.7(65) 第八節(jié)應(yīng)用實(shí)例67 實(shí)例一：連續(xù)計(jì)息問題(67)實(shí)例二：科克曲線(67) 總習(xí)題一69 單元測(cè)試一70 第二章導(dǎo)數(shù)與微分72 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念72 一、兩個(gè)經(jīng)典問題(72)二、導(dǎo)數(shù)的定義(74)三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)(77) 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(78)五、函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系(78) 思考題2.1(80)習(xí)題2.1(80) 第二節(jié)求導(dǎo)法則81 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(81)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則(83) 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(84)四、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式(87) 思考題2.2(88)習(xí)題2.2(89) 第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)90 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念(90)二、幾個(gè)初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(91) 三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(92) 思考題2.3(93)習(xí)題2.3(93) 第四節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)94 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(94)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(97) 三、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(98)思考題2.4(99)習(xí)題2.4(100) 第五節(jié)微分100 一、概念的引出(100)二、微分的定義(101)三、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(102) 四、微分的幾何意義(103)五、微分運(yùn)算法則(104) 六、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用(105)思考題2.5(108)習(xí)題2.5(109) 第六節(jié)應(yīng)用實(shí)例110 實(shí)例一：相關(guān)變化率(110)實(shí)例二：飛機(jī)降落曲線問題(110)習(xí)題2.6(112) 總習(xí)題二112 單元測(cè)試二112 第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用114 第一節(jié)微分中值定理114 一、羅爾中值定理(114)二、拉格朗日中值定理(115) 三、微分中值定理的初步應(yīng)用(117)思考題3.1(118)習(xí)題3.1(118) 第二節(jié)洛必達(dá)法則119 一、直觀描述(119)二、00型未定式(120) 三、∞∞型未定式(121)四、其他類型的未定式(122) 思考題3.2(124)習(xí)題3.2(124) 第三節(jié)函數(shù)幾何性態(tài)的研究125 一、函數(shù)單調(diào)性的判定(125)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)(127) 三、函數(shù)的極值(130)四、函數(shù)圖形的描繪(134) 五、曲率——曲線彎曲程度的定量描述(136) 思考題3.3(140)習(xí)題3.3(140) 第四節(jié)最值問題141 思考題3.4(144)習(xí)題3.4(144) 第五節(jié)應(yīng)用實(shí)例145 實(shí)例一：火車彎道問題的設(shè)計(jì)(145)實(shí)例二：運(yùn)輸問題(146) 總習(xí)題三147 單元測(cè)試三148 第四章不定積分150 第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)150 一、原函數(shù)與不定積分的概念(150)二、不定積分的基本公式(152) 三、不定積分的性質(zhì)(153)思考題4.1(155)習(xí)題4.1(156) 第二節(jié)不定積分的基本積分法157 一、換元積分法(157)二、分部積分法(165) 思考題4.2(168)習(xí)題4.2(168) 第三節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的不定積分170 一、有理函數(shù)的不定積分(170)二、三角函數(shù)有理式的不定積分(173) 三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分(174)思考題4.3(176)習(xí)題4.3(176) 總習(xí)題四177 單元測(cè)試四177 第五章定積分及其應(yīng)用179 第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)179 一、兩個(gè)經(jīng)典問題(179)二、定積分的定義(181)三、定積分的幾何意義(182) 四、定積分的存在定理(183)五、定積分的性質(zhì)(184) 思考題5.1(189)習(xí)題5.1(189) 第二節(jié)微積分基本公式191 一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(191)二、牛頓萊布尼茨公式(195) 思考題5.2(198)習(xí)題5.2(199) 第三節(jié)定積分的計(jì)算200 一、定積分的換元積分法(200)二、定積分的分部積分法(206) 思考題5.3(209)習(xí)題5.3(209) 第四節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用210 一、定積分應(yīng)用的微元法(211)二、平面圖形的面積(211) 三、某些特殊立體的體積(217)四、平面曲線的弧長(zhǎng)(222) 思考題5.4(224)習(xí)題5.4(225) 第五節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用226 一、變力沿直線所做的功(226)二、液體的靜壓力(228)*三、引力(229) 思考題5.5(230)習(xí)題5.5(230) 第六節(jié)反常積分231 一、無(wú)限區(qū)間上的反常積分(231)二、無(wú)界函數(shù)的反常積分(235) *三、Γ函數(shù)(238)思考題5.6(238)習(xí)題5.6(238) 第七節(jié)應(yīng)用實(shí)例240 實(shí)例一:橢圓柱形油罐中油量的刻度問題(240) 實(shí)例二:橢圓周長(zhǎng)的簡(jiǎn)便計(jì)算方法(241)習(xí)題5.7(242) 總習(xí)題五242 單元測(cè)試五(1)243 單元測(cè)試五（2）244 第六章微分方程與數(shù)學(xué)建模初步247 第一節(jié)微分方程的基本概念247 一、引例(247)二、微分方程的幾個(gè)概念(249) 思考題6.1(251)習(xí)題6.1(251) 第二節(jié)一階微分方程252 一、可分離變量的微分方程(253)二、一階線性微分方程(256) 三、變量代換(258)思考題6.2(261)習(xí)題6.2(262) 第三節(jié)微分方程模型的建模簡(jiǎn)介263 一、微分方程模型的建模步驟(263)二、實(shí)例一：飛機(jī)減速傘的設(shè)計(jì)與應(yīng)用(265) 三、實(shí)例二：R�睱電路(266)習(xí)題6.3(266) 第四節(jié)可降階的高階微分方程267 一、形如y(n)=f(x)的微分方程(268)二、形如y″=f(x，y′)的微分方程(268) 三、形如y″=f(y，y′)的微分方程(269) 思考題6.4(270)習(xí)題6.4(270) 第五節(jié)線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)271 一、線性微分方程(271)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(271) *三、常數(shù)變易法(274)思考題6.5(274)習(xí)題6.5(274) 第六節(jié)常系數(shù)線性微分方程的解法275 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法(275) 二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法(279) 思考題6.6(284)習(xí)題6.6(284) *第七節(jié)特殊的二階變系數(shù)線性微分方程——?dú)W拉方程286 習(xí)題6.7(286) 第八節(jié)應(yīng)用實(shí)例286 實(shí)例一：振動(dòng)模型(286)實(shí)例二：最速降線問題(290) 習(xí)題6.8(292) 總習(xí)題六292 單元測(cè)試六292 附錄一常見的平面曲線295 附錄二積分表295