第一冊 1 阿基米德 Archimedes 在全書正式開始之前，先讓我們了解一下為數(shù)學(xué)黃金時(shí)代鋪平道路的三個(gè)古希臘人，他們分別是芝諾、歐多克斯和阿基米德。芝諾和歐多克斯分別開創(chuàng)了數(shù)學(xué)兩大學(xué)派，它們分別是數(shù)學(xué)分析、無窮和連續(xù)的理論。阿基米德不但是古代最偉大的智者，同時(shí)是徹底的現(xiàn)代派，他和牛頓完全可以相互理解。如果阿基米德能與愛因斯坦、玻爾或者海森伯處于一個(gè)時(shí)代，那么他可能會比他們對數(shù)學(xué)和物理的研究生課程有更深刻的理解。因?yàn)樵谒�有古人中，只有阿基米德�?xí)慣于自由思考。正因如此，阿基米德與高斯、牛頓并稱世界上最偉大的三個(gè)數(shù)學(xué)家，他還享有“力學(xué)之父”的美稱。關(guān)于芝諾和歐多克斯的生平的文字記載較少，所以我們將重點(diǎn)介紹他們在數(shù)學(xué)上的突出貢獻(xiàn)。公元前490年，芝諾出生于意大利半島南部的埃利亞城，是數(shù)學(xué)家巴門尼德的朋友。他提出了4個(gè)簡單的悖論。第一，兩分法悖論。假設(shè)一個(gè)人從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，要先走完路程的，再走完剩下總路程的，再走完剩下的……如此循環(huán)下去，永遠(yuǎn)不能到終點(diǎn)。假設(shè)此人速度不變，走一段的時(shí)間每次除以2，時(shí)間為實(shí)際需要時(shí)間的 …，則時(shí)間限制在實(shí)際需要時(shí)間以內(nèi)，即此人與目的地的距離可以為任意小，卻到不了。實(shí)際上是這個(gè)悖論本身限定了時(shí)間，當(dāng)然到達(dá)不了。第二，阿基里斯追龜悖論。阿基里斯亦譯作阿喀琉斯，他是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母傎愔校�他的速度為烏龜�(shù)?0倍，烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。因?yàn)樵诟傎愔�，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追到100米時(shí)，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米，于是，一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追到烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個(gè)1米……就這樣，烏龜會制造出無窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與阿喀琉斯之間制造出一段距離，不管這段距離有多小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)也追不上烏龜！烏龜——?jiǎng)拥米盥�的物體，不會被動得最快的物體追上。追趕者首先應(yīng)該到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，此時(shí)被追者已經(jīng)往前走了一段距離，因此被追者總是在追趕者前面。第三，飛矢悖論。設(shè)想一支飛行的箭，在每一時(shí)刻，它位于空間中的一個(gè)特定位置。由于時(shí)刻無持續(xù)時(shí)間，箭在每個(gè)時(shí)刻都沒有時(shí)間而只能是靜止的。鑒于整個(gè)運(yùn)動期間只包含時(shí)刻，而每個(gè)時(shí)刻又只有靜止的箭，所以芝諾斷定，飛行的箭總是靜止的，它不可能在運(yùn)動。第四，運(yùn)動場悖論。首先假設(shè)在操場上，有觀眾席A，以及隊(duì)列B、C。 ■■■■觀眾席A ▲▲▲▲隊(duì)列B ▼▼▼▼隊(duì)列C 在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位），相對于觀眾席A，隊(duì)列B和C分別向右和左移動了一個(gè)距離單位。 ■■■■觀眾席A ▲▲▲▲隊(duì)列B ▼▼▼▼隊(duì)列C 而此時(shí)，對B而言，C移動了兩個(gè)距離單位。也就是說，隊(duì)列既可以在一個(gè)最小時(shí)間單位里移動一個(gè)距離單位，也可以在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動一個(gè)距離單位，這就產(chǎn)生了半個(gè)最小時(shí)間單位等于一個(gè)最小時(shí)間單位的矛盾，因此隊(duì)列是移動不了的。芝諾的4個(gè)悖論是人們早期探索無窮和連續(xù)時(shí)遇到的困難。如今，這些悖論都被康托爾創(chuàng)立的“實(shí)在的無窮理論”一勞永逸地解決了。歐多克斯于公元前408年出生在克尼多斯，他在年輕時(shí)從塔蘭托移居雅典，師從當(dāng)時(shí)第一流的數(shù)學(xué)家、行政官員、軍人阿基塔斯。在雅典，歐多克斯結(jié)識了柏拉圖。雖然柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，但他的哲學(xué)思想影響到了一批數(shù)學(xué)家，因此，人們稱他為“數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造者”。歐多克斯無疑也傾慕柏拉圖的才學(xué)，喜歡聽柏拉圖講課�？墒撬�太窮了，無法住在柏拉圖的學(xué)園附近。于是，他就住在離雅典比較近的比雷埃夫斯，每天往返跋涉10英里去聽柏拉圖講課。柏拉圖也看出了歐多克斯的才能，并成為了他忠實(shí)的朋友，據(jù)說兩人曾一起去埃及旅行。然而，兩人在行星運(yùn)行軌道的問題上發(fā)生了分歧，柏拉圖中斷了與歐多克斯的友情。歐多克斯便移居基齊庫斯，在那里定居、教學(xué)，度過了余生。除了數(shù)學(xué)，歐多克斯還研究醫(yī)學(xué)，開業(yè)行醫(yī)，擔(dān)任議員，并認(rèn)真研究天文學(xué)。與此同時(shí)，歐多克斯開創(chuàng)了無理數(shù)現(xiàn)代理論。芝諾和歐多克斯之后便是阿基米德，他早年曾在當(dāng)時(shí)古希臘的學(xué)術(shù)中心亞歷山大城跟隨歐幾里得的門徒學(xué)習(xí)，因此阿基米德也算是亞歷山大學(xué)派的成員，他的許多學(xué)術(shù)成果就是通過和亞歷山大派學(xué)者通信往來保存下來的。后人對阿基米德給予了極高的評價(jià)，普林尼甚至稱阿基米德為“數(shù)學(xué)之神”。下面，讓我們一起走進(jìn)阿基米德的數(shù)學(xué)世界。 ……