前言
遞推關(guān)系，在高考中常有出現(xiàn)，也是高中教科書中一個重要的內(nèi)容.它不僅是數(shù)列章節(jié)的基礎(chǔ)概念之一，而且在解決實際問題時具有廣泛的應(yīng)用.但是限于篇幅原因，教科書里沒有完整地進行過介紹，因此，廣大師生迫切需要有這方面的參考書.
本書是一本比較全面敘述遞推關(guān)系的書籍，包括從遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(各種類型、各種方法)與前n項和公式；從通項公式求遞推關(guān)系；以及從遞推關(guān)系著手研究數(shù)列的特性(有界性、單調(diào)性)與數(shù)列的極限，并收集了高考題中一部分有關(guān)遞推關(guān)系的題目；最后，簡單講述遞推關(guān)系在計算機中的應(yīng)用.
這本書的編寫有幾個特點：第一是講述解題方法和技巧，第二是把這些方法和技巧分類有序呈現(xiàn)，第三是再從思想方法角度加以總結(jié).我和我的團隊非常推崇張景中院士提出的解題中巧說,在學(xué)習(xí)中巧說的基礎(chǔ)上，編寫了《數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究》《陳永明講評數(shù)學(xué)題高中習(xí)題歸類研討》和《陳永明講評數(shù)學(xué)題初中習(xí)題歸類研討》,本書延續(xù)了這種風(fēng)格.對高中數(shù)學(xué)教師和高中生來說，這可能是較好的輔助資料，希望對大家有所幫助.
一本優(yōu)秀的教參，還應(yīng)該有更高的要求：既能講述解題方法和技巧，又要翹一翹尾巴從理論上稍加發(fā)揮.本書除了編排上的三個特點之外，還對遞推關(guān)系的性質(zhì)(單調(diào)性、有界性、極限)做了一點探討，可能可以滿足高中教師的需求.
我一直認(rèn)為，我國的基礎(chǔ)教育很扎實，但是有點坐井觀天,在初等數(shù)學(xué)的小圈圈里打轉(zhuǎn)，不了解書本之外的事情.譬如，我們書本上講了二次方程，而且學(xué)了不少解題技巧，可就到此為止了.學(xué)生一般不會問：講了一次方程、二次方程，那么三次方程為什么不講啊?學(xué)生能不能問和問不問這樣的問題，性質(zhì)是大不一樣的.所以，教材要給學(xué)生留白,要誘導(dǎo)學(xué)生去了解井外的廣闊的天地.本書想對高中生留個白,看看我們反復(fù)練習(xí)的數(shù)列、遞推關(guān)系究竟有什么用處.
學(xué)習(xí)遞推關(guān)系，不僅有助于參加高考，其實還有更深的意義.
不可否認(rèn)，在筆算的年代，數(shù)列的通項公式比較好用.譬如求某數(shù)列的第100項的值，只要將n=100代入到通項公式中去，結(jié)果立馬出來了.如果用遞推關(guān)系來求，先要由第一項求出第二項，再由第二項求出第三項……最后由第99項求出第100項，真是少慢差費.但是，在計算機飛速發(fā)展的今天，情況發(fā)生了逆轉(zhuǎn)，遞推關(guān)系更顯示出強大的生命力.計算機不怕麻煩，不怕復(fù)雜，只要利用遞推關(guān)系設(shè)定了程序，結(jié)果馬上算出來.計算機大量運用迭代，其實迭代就是遞推關(guān)系的一種運用.
總的來說，遞推關(guān)系和通項公式都是描述數(shù)列的重要工具.遞推關(guān)系提供了一種從已知項出發(fā)計算未知項的方法，在計算機科學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.例如，在計算機科學(xué)中，動態(tài)規(guī)劃算法常常使用遞推關(guān)系來解決問題.而通項公式則直接給出了數(shù)列中任意一項的具體數(shù)值，在物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.例如，在物理學(xué)中，我們可以使用通項公式來描述物體的運動規(guī)律；在工程學(xué)中，我們可以使用通項公式來計算某種結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的特性.它們在不同的應(yīng)用場景下都有著重要的作用.
本書是在我的一本舊作基礎(chǔ)上修訂的，參與修訂的有徐衛(wèi)文、陶燁昕、李瑾、陳永明.
陳永明
2024年1月