本書是普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。全書系統(tǒng)介紹了群、環(huán)、域的基本概念與初步性質(zhì)，共分為三個部分。第一部分講述群的基本概念與性質(zhì)，除了通常的群、子群、正規(guī)子群及群同態(tài)的基本定理外，還介紹了群的應(yīng)用。第二部分包括環(huán)、子環(huán)、理想與商環(huán)的基本概念與性質(zhì)，特別討論了整環(huán)的性質(zhì)。第三部分討論了域的擴張的理論。
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目錄
第1章 群 1
1.1 等價關(guān)系與集合的分類 1
1.2 群的概念 6
群論的起源 17
1.3 子群 18
阿貝爾 小傳 26
1.4 群的同構(gòu) 27
凱萊 小傳 33
1.5 循環(huán)群 34
歐拉 小傳 43
1.6 置換群與對稱群 44
置換群的歷史回顧 56
*1.7 置換在對稱變換群中的應(yīng)用 57
伽羅瓦 小傳 62
第2章 群的進一步討論 64
2.1 子群的陪集 64
拉格朗日 小傳 72
2.2 正規(guī)子群與商群 73
柯西 小傳 80
2.3 群的同態(tài)和同態(tài)基本定理 81
若爾當 小傳 89
2.4 群的直積 90
*2.5 群在集合上的作用 97
伯恩賽德 小傳 105
*2.6 西羅定理 106
西羅 小傳 111
第3章 環(huán) 112
3.1 環(huán)的定義與基本性質(zhì) 112
環(huán)論的歷史回顧 121
華羅庚 小傳 122
3.2 整環(huán)、域與除環(huán) 123
哈密頓 小傳 132
3.3 理想與商環(huán) 132
克魯爾 小傳 140
3.4 環(huán)的同態(tài) 140
諾特 小傳 149
3.5 素理想與極大理想 150
戴德金 小傳 155
3.6 環(huán)的特征與素域 155
雅各布森 小傳 159
第4章 環(huán)的進一步討論 160
4.1 多項式環(huán) 160
波利亞 小傳 164
4.2 整環(huán)的商域 165
阿廷 小傳 171
4.3 唯一分解整環(huán) 171
庫默爾 小傳 182
4.4 主理想整環(huán)與歐幾里得整環(huán) 183
*4.5 唯一分解整環(huán)上的多項式環(huán) 192
高斯 小傳 196
第5章 域的擴張 198
5.1 向量空間 198
5.2 擴域 202
克羅內(nèi)克 小傳 210
5.3 代數(shù)擴張 211
施泰尼茨 小傳 221
5.4 多項式的分裂域 221
懷爾斯 小傳 230
5.5 有限域 230
湯普森 小傳 235
*5.6 幾何作圖 236
第1章 群
近世代數(shù)的主要研究對象是具有代數(shù)運算的集合，這樣的集合稱為代數(shù)系。群是具有一個代數(shù)運算的代數(shù)系。群的理論是近代代數(shù)學(xué)的一個重要分支，它在物理學(xué)、化學(xué)、信息學(xué)等許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。
本章和第2章介紹群的初步理論。本章的1.1節(jié)討論等價關(guān)系和集合的分類以及它們之間的聯(lián)系。1.1節(jié)的內(nèi)容雖然不屬于群論的范疇，但等價關(guān)系和集合的分類卻是近世代數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)的兩個基本概念，所以先作一個介紹。1.2節(jié)。1.4節(jié)介紹群、子群、群同構(gòu)的概念及有關(guān)性質(zhì)。這是了解群的第一步。1.5節(jié)和1.6節(jié)較為詳細地討論了兩類最常見的群——循環(huán)群與置換群。學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容可以熟悉群的運算和性質(zhì)，加深對群的理解。1.7節(jié)是選學(xué)內(nèi)容，介紹置換群的某些應(yīng)用，初學(xué)時可以略去。并不影響后面的學(xué)習(xí)。
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