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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》主要介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、原理和方法。以實際應(yīng)用為背景，講述力求簡明通俗，突出概率統(tǒng)計課程理論學(xué)習(xí)與計算機運用相結(jié)合的特色，在規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容中加入簡明實用的 Excel函數(shù)命令和操作演示。內(nèi)容包括隨機事件與概率、隨機變量及其分布、多維隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析與回歸分析。每小節(jié)后都配有習(xí)題，書末附有習(xí)題參考答案。《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》可作為開設(shè)概率統(tǒng)計課程的師范院校及理工、經(jīng)管類院校本、�？茖W(xué)生及相關(guān)讀者，也可作為相關(guān)專業(yè)學(xué)生的教學(xué)參考書。本書由云南師大數(shù)學(xué)學(xué)院郭民之老師主編。

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第1章隨機事件與概率
概率論是研究隨機現(xiàn)象及其統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，而數(shù)理統(tǒng)計則是一門以概率論為理論工具的，研究如何收集、整理、分析和推斷具有隨機性的數(shù)據(jù)資料的學(xué)科。概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計是概率論的應(yīng)用，二者相輔相成，相得益彰。本章首先要學(xué)習(xí)的隨機事件及其概率是概率論中最基本、最重要的概念之一。
1.1 隨機事件
1.1.1 隨機現(xiàn)象
大千世界，氣象萬千。我們身處一個不斷變化的現(xiàn)實世界中，每天都要和各種各樣無法預(yù)料的事情打交道：明天是否會下雨；今天上學(xué)會不會遲到；周末環(huán)城路會不會堵車；買一張彩票能否中獎；本周云南白藥股價是否上漲；這些無法預(yù)知結(jié)果的問題充滿了我們的周圍，吸引我們?nèi)リP(guān)注。稱這類在一定條件下其結(jié)果不能確定的現(xiàn)象為隨機現(xiàn)象。相應(yīng)地，在一定條件下其結(jié)果可以完全確定的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象，如太陽每天東升西落；春夏秋冬，周而復(fù)始；同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引；在平面上畫一個三角形，其內(nèi)角和一定等于180°；純水在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加熱到100℃，水必然會沸騰。
隨機現(xiàn)象在現(xiàn)實世界中廣泛存在，這決定了對隨機現(xiàn)象的研究具有重要的理論意義和實用價值。概率論就是研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科�？赡苡腥藭䥺枺杭热浑S機現(xiàn)象的結(jié)果無法預(yù)知，它怎么會有規(guī)律呢？若有，其規(guī)律性又如何體現(xiàn)呢？
實際上，隨機現(xiàn)象是有規(guī)律的，其規(guī)律是一種集體性規(guī)律，或者說，是一種統(tǒng)計規(guī)律，即對隨機現(xiàn)象進行大量試驗或觀察后所呈現(xiàn)出來的某種穩(wěn)定性質(zhì)。例如，在相同條件下，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣很多次，就會發(fā)現(xiàn)擲出正面和擲出反面的機會大致均等，或者說，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”這兩個結(jié)果出現(xiàn)的頻率都穩(wěn)定在1／2這個值附近。又如，全世界人口中男、女人數(shù)大致各占一半；在正常情況下，一個城市每天居民的用水量、用電量大致穩(wěn)定。盡管從少量的隨機現(xiàn)象中一般無法看出其規(guī)律，但隨著試驗或觀察次數(shù)的增加就會發(fā)現(xiàn)，隨機現(xiàn)象的這種統(tǒng)計規(guī)律是客觀存在的，這正是概率論這門學(xué)科能夠存在并不斷發(fā)展的客觀基礎(chǔ)。
1.1.2 隨機試驗與樣本空間
隨機現(xiàn)象是概率論研究的對象。要獲得對隨機現(xiàn)象規(guī)律性的認(rèn)識，必須要通過試驗或觀察來獲取數(shù)據(jù)資料。有時研究者可以做試驗主動地得到試驗結(jié)果，如連續(xù)拋擲一枚硬幣記錄正面出現(xiàn)的次數(shù)；有時可以通過觀察被動地得到數(shù)據(jù)，如觀察記錄一小時內(nèi)通過某路口的車輛數(shù)，以下把試驗或觀察都稱為試驗。一般地，針對某種目的的一組條件的實現(xiàn)稱為試驗。概率論中所說的試驗通常要求能夠重復(fù)進行，由此才能探究其統(tǒng)計規(guī)律。
定義1.1.1 具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗，記為E：
（1）可重復(fù)性：試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；
（2）可界定性：每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但試驗可能出現(xiàn)哪些結(jié)果是明確的；
（3）不確定性：每次試驗有且僅有一種結(jié)果出現(xiàn)，并且在試驗之前無法預(yù)知哪個結(jié)果會出現(xiàn)。
設(shè)ω為隨機試驗E的一個可能出現(xiàn)的基本結(jié)果，稱ω為E的一個樣本點（或一個基本事件），樣本點的全體所成的集合Ω稱為樣本空間，記為Ω，即Ω＝｛ω｝。在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn)。在具體問題中，弄清楚Ω的構(gòu)成是十分重要的。
例1.1.1 以下幾個試驗均為隨機試驗：
（1）E1：拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面還是反面。記ω1＝“出現(xiàn)正面”，ω2＝“出現(xiàn)反面”，則樣本空間由兩個樣本點構(gòu)成，即Ω＝｛ω1，ω2｝。若用字母H（head）和T（tail）分別表示正面和反面，則可以直接記為Ω＝｛H，T｝。
（2）E2：將拋擲一枚硬幣兩次視為一次試驗，觀察其出現(xiàn)正、反面的情況，則其樣本空間為Ω＝｛ω1，ω2，ω3，ω4｝，其中這4個樣本點分別表示HH，HT，TH，TT四種可能結(jié)果，也可以直接記為Ω＝｛HH，HT，TH，TT｝。
（3）E3：拋擲一枚骰子，記錄其出現(xiàn)的點數(shù)，則其樣本空間為Ω＝｛ω1，ω2，.，ω6｝，其中ωi（i＝1，2，.，6）表示“出現(xiàn)i點”，也可以直接記為Ω＝｛1，2，.，6｝。
（4）E4：記錄某電話總機一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間為Ω＝｛ω0，ω1，ω2，.｝，其中ωi（i＝0，1，2，.）表示“接到i次呼叫”。
（5）E5：從某種型號的一批電視機中任意抽出一臺，測量其壽命T，則其樣本空間為Ω＝｛T∶T≥0｝。
需要注意的是，每一個隨機試驗都對應(yīng)于一個樣本空間Ω，樣本點的數(shù)目可以是有限的，如例1.1.1（1）～（3）中的Ω；也可以是無限的，如例1.1.1（4），（5）中的Ω.此時，分別稱它們?yōu)橛邢迾颖究臻g和無限樣本空間。
1.1.3 隨機事件
通過試驗研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律時，通常關(guān)心的是隨機現(xiàn)象中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果，這些結(jié)果稱為隨機事件，簡稱事件（event），通常用大寫字母A，B，C，.表示.例如，例1.1.1E1中的“出現(xiàn)正面”（即ω1），記為A；E3中的“出現(xiàn)偶數(shù)點”，記為B；E5中的“壽命大于5000h”，記為C；..一般的隨機事件是由若干樣本點共同組成的，如上述三個事件可分別表示為A＝｛ω1｝，B＝｛ω2，ω4，ω6｝，C＝｛T∶T＞5000｝。
從集合論的觀點來看，隨機事件是樣本空間的一個子集。當(dāng)且僅當(dāng)事件A所含的一個樣本點出現(xiàn)時稱為事件A出現(xiàn)（或者說事件A發(fā)生）。樣本點實際上是隨機事件中特殊的一種，即只包含一個樣本點的隨機事件，故也稱之為基本事件。樣本空間Ω的最大子集（即Ω本身）稱為必然事件，其最小子集（即空集）稱為不可能事件。必然事件Ω（不可能事件）在每次試驗中都會出現(xiàn)（都不會出現(xiàn)）。嚴(yán)格來說，Ω及實際上已經(jīng)不具有隨機性了，但通常把它們看成特殊的隨機事件。
1.1.4 隨機事件的表示
隨機事件可以用不同的形式來描述，可以用文字語言敘述，如“買一張彩票中獎”；可以用數(shù)字，如“3”表示出現(xiàn)3點；還可以用符號或字母，如“+”或“H”均可表示“出現(xiàn)正面”等。但隨機事件表示形式的多樣性不方便進行理論研究，為此，在第2章中將引入隨機變量來對隨機事件進行統(tǒng)一的描述。這樣做的主要目的是要借助微積分這一處理變量的有力工具來研究隨機事件。粗略地說，隨機變量就是用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量，常用大寫字母X，Y，Z，。表示。隨機變量根據(jù)出現(xiàn)的樣本點ω的不同而取不同的值來表示隨機事件。例如，用X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則“X＝3”就表示“出現(xiàn)3點”這一隨機事件。事實上，任意隨機事件A都可以用一個隨機變量X來表示。例如，令
1， ω∈ A ，X＝X（ω）＝0，ω臭A，則容易看出“X＝1”等價于事件A發(fā)生。討論實際問題時，根據(jù)需要，可引入不同的隨機變量。關(guān)于隨機變量的進一步討論詳見第2章。
1.1.5 隨機事件之間的關(guān)系及運算
討論事件之間的關(guān)系及運算，其主要目的是想把復(fù)雜事件表示為簡單事件的組合形式，希望通過對簡單事件的了解去把握復(fù)雜的事件。由于隨機事件可看成樣本空間Ω的子集，因此，事件之間的關(guān)系及運算也就相當(dāng)于集合之間的關(guān)系及運算。任意兩個事件A，B的關(guān)系可用維恩（Venn）圖表示如下，如圖1.1.1所示。
圖1.1.1 事件的關(guān)系
以下用A，B，C，Ai，Bi等表示隨機事件。先引入幾個關(guān)于事件關(guān)系的常用概念。
1.事件的包含
若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，即A中的每一個樣本點都包含在B中，則稱A包含于B，記為A炒B，如圖1.1.1（a）所示。這時，也可以等價地說B包含A，記為B車A。顯然，對任意事件A，有炒A炒Ω。
特別地，當(dāng)A炒B且B車A時，稱事件A與B相等，記為A＝B。
2.事件的并
“兩事件A與B中至少有一個發(fā)生”也是一個事件，此事件由A與B的所有樣本點構(gòu)成，稱為A與B的并，記為A∪B，如圖1.1.1（b）所示。若并事件A∪B發(fā)生，那么或A發(fā)生，或B發(fā)生，當(dāng)然也可能A與B同時發(fā)生。
可將并的概念推廣到有限個事件以及可數(shù)多個事件的情形。稱事件“A1，.，nAn中至少有一個發(fā)生”為n個事件A1，.，An的并，記為A1∪.∪An或i ∪＝ 1 Ai，進一步，稱事件“A1，A2，.中至少有一個發(fā)生”為可數(shù)多個事件A1，A2.的并，記為
∞A1∪A2∪，.或i ∪＝ 1 Ai.
3.事件的交
“兩事件A與B同時發(fā)生”也是一個事件，此事件由A與B的公共的樣本點構(gòu)成，稱為A與B的交，記為A∩B，或簡記為AB，如圖1.1.1（c）。
同上，可將交的概念推廣。稱事件“A1，。，An同時發(fā)生”為n個事件A1，.，nAn的交，記為A1∩.∩An或i ∩＝ 1 Ai，也常常記為A1A2.An.進一步，稱事件“A1，∞A2，.同時發(fā)生”為可數(shù)多個事件A1，A2，.的交，記為A1∩A2∩.或i ∩＝ 1 Ai。
4.事件的差
“A發(fā)生而B不發(fā)生”也是一個事件，此事件由A中不包含于B內(nèi)的所有樣本點構(gòu)成，稱為A與B的差，記為A-B，如圖1.1.1（d）所示.根據(jù)具體情況，常常需要靈活地使用如下并事件的不同表達形式：A∪B＝A∪（B-A）＝A∪（B-AB）＝B∪（A-B）＝B∪（A-AB）＝（A-B）∪AB∪（B-A）。
5.互不相容
若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互不相容，或稱A與B互斥。易見A與B互斥騁AB＝，如圖1.1.1（e）所示。
6.互逆
若兩事件A與B同時滿足如下條件：A∪B＝Ω且AB＝也就是說，事件A與B必發(fā)生其一，但A與B又不能同時發(fā)生，則稱A與B互為逆，事件（或?qū)α⑹录�，簡稱A與B互逆。若記A的逆事件為A，則A＝B。實際上，A＝Ω-A＝B。同理，B＝Ω-B＝A，如圖1.1.1（f）所示。
一般地，對任意兩個事件A與B有AB＝A-B，這由上面的維恩圖容易看出。
例1.1.2 袋中裝有10個相同的小球，標(biāo)號分別為1，2，.10.從袋中任意取出一球，用i（i＝1，2，.，10）表示基本事件“取到i號球”，記，A＝“取到3號球”＝｛3｝，B＝“取到奇號球”＝｛1，3，5，7，9｝，C＝“取到偶號球”＝｛2，4，6，8，10｝，D＝｛1，5，7，9｝，則有A炒B，A∪B＝B，AB＝A，B-A＝｛1，5，7，9｝＝D，B＝A∪D，A與C互斥，即AC＝，A∪C＝｛2，3，4，6，8，10｝，B與C互逆，A∪B∪C＝Ω.。
注1.1.1 A與B互逆可以推出A與B互斥，但反之未必成立。例如，在例1.1.2中，A與C互斥，但A與C并不互逆。
7.事件的運算法則
由集合的運算性質(zhì)可知，事件之間的運算滿足如下運算規(guī)律：
（1）交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA；
（2）結(jié)合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（AB）C＝A（BC）；
（3）分配律：A（B∪C）＝AB∪AC，A∪（BC）＝（A∪B）（A∪C）；
（4）對偶律：A ∪ B ＝ A∩ B，A ∩ B ＝ A∪ B；∪ Ai ＝∩ Ai ，∩ Ai ＝∪ Ai。
對偶律也稱為德摩根公式，其中Ai的下標(biāo)i可以取值于有限指標(biāo)集、可數(shù)指標(biāo)集，甚至任意指標(biāo)集。對偶律可以這樣來記憶：并的逆＝逆的交，再反過來念：交的逆＝逆的并。
事件的這些運算規(guī)律的證明與集合的運算規(guī)律的證明完全一致，均是先證明左邊事件（集合）包含于右邊事件（集合），再證明右邊事件（集合）包含于左邊事件（集合），從而得到等號兩邊的事件（集合）相等。證明留作思考題。
1.1.6 用簡單事件表示復(fù)雜事件
在實際中碰到的事件多為較為復(fù)雜的事件，往往需要用一些簡單事件來表示它們，以便對其進行討論。

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