目錄
《大學戴學科學叢書》序
前言
符號說明
第1章 行列式 1
1 1 行列式的定義、性質與公式 1
1.1.1 行列式的定義 1
1.1.2 行列式的性質 1
1.1.3 行列式中的常用公式 2
1.1.4 判斷行列式是否為零的常用方法 4
1.2 定義法 4
1.3 化三角形法 5
1.3.1 對角錢以下(上)的元素與某行(列)對應元素成比例 5
1.3.2 行列式各行(列)元素的和都相同 6
1.3.3 行列式的行(列)遞進轉化 7
1.4 Vandermonde 行列式法 8
1.4.1 利用性質將行列式化成Vandermonde 行列式 8
1.4.2 行列式的元素為乘積之和或能展成乘積之和 9
1.4.3 行列式形似Vandermonde 行列式但變量缺少一方罪 10
1.4.4 ví扭曲rmonde 行列式在數(shù)學分析中的應用 12
1.5 分裂行列式法 14
1.5.1 拆成和 14
1.5.2 拆成積 15
川加邊法 16
1.7 降階法 19
1.7.1 造零法 19
1.7.2 利用行列式的降階定理計算行列式 20
1.8 遞推法 22
1.8.1 直接遞推法 23
1.8.2 間接通推法 24
1.9 數(shù)學歸納法 26
1.10 作輔助行列式法 28
習題1 29
第2章 矩陣理論 32
2.1 標準單位向量及其應用 32
2.2 分塊矩陣的初等變換與矩陣的秩 35
2.2.1 矩陣的初等變換與分塊矩陣的初等變換 35
2.2.2 矩陣秩的求法 38
2.2.3 矩陣秩的等式與不等式 39
2.3 可逆矩陣與伴隨矩陣 45
2.3.1 逆矩陣46
2.3.2 伴隨矩陣 52
2.4 矩陣的三種等價關系 56
2.4.1 三種等價關系的定義 56
2.4.2 性質 56
2.5 矩陣的特征值、特征向量與對角化 61
2.5.1 矩陣的特征值與特征多項式 61
2.5.2 矩陣的跡(trace) 70
2.5.3 矩陣的最小多項式 76
2.5.4 矩陣的對角化 77
2.6 多項式矩陣的Smith 標準形及其應用 88
2.6.1 多項式矩陣及其行列式 88
2.6.2 多項式矩陣的初等變換與初等矩陣 89
2.6.3 多項式矩陣的S皿由標準形 90
2.6.4 同時求矩陣的特征根和特征向量及可對角化判定 92
2.7 矩陣的分解 94
2.7.1 矩陣的積因子分解 94
2.7.2 和因子分解 119
2.8 幾種特殊的矩陣 122
2.8.1 準對角矩陣 122
2.8.2 上(下)三角陣 123
2.8.3 對稱矩陣與反對稱矩陣 124
2.8.4 霖等矩陣 128
2.8.5 事零矩陣 130
2.8.6 對合矩陣 133
2.8.7 正交矩陣 135
習題2 137
第3章 線性方程組 143
3.1 Cramer 法則 143
3.2 齊次線性方程組 145
3.2.1 齊戰(zhàn)線性方程組有非零解的充要條件 145
3.2.2 齊戰(zhàn)線性方程組的基礎解系及其有關證明 147
3.2.3 齊次線性方程組的反問題 151
3.2.4 基礎解系的簡便求法 152
3.3 非齊次線性方程組 154
3.3.1 線性方程組有解的判別定理 154
3.3.2 非齊次線性方程組解的結構 155
3.3.3 非齊次線性方程組的簡便解法 158
習題3 161
第4章 多項式 164
4.1 多項式的整除 164
4.1.1 帶余除法 164
4.1.2 整除的定義及性質 168
4.2 最大公因式與最小公倍式 170
4.2.1 最大公困式的是義與性質 170
4.2.2 多項式的互素 176
4.2.3 最小公倍式 182
4.2.4 多項式最大公困式與最小公倍式的矩陣求法 185
4.3 不可約多項式與因式分解 189
4.3.1 不可約多項式 189
4.3.2 因式分解 192
4.4 多項式函數(shù)與多項式的根 197
4.4.1 多項式函數(shù) 197
4.4.2 多項式的根 197
4.4.3 多項式的根與系數(shù)的關系 202
4.4.4 π次單位根 203
4.4.5 有理棍 205
習題4 205
第5章 二次型理論 208
5.1 二次型的基礎理論 208
5.1.1 二次型結性空間與對稱矩陣空間同構 208
5.1.2 二次型的標準形 208
5.1.3 二次型的規(guī)范形(或正規(guī)形) 211
5.2 正定二次型 221
5.2.1 正定、半正定、負定、半負定及不定二次型的定義 221
5.2.2 正走矩陣等的判定 222
5.2.3 關于正定矩陣的一些重要結論 230
5.2.4 正定與半正定矩陣的應用 235
習題5 251
第6章 線性空間 254
6.1 線性空間的定義與性質 254
6.1.1 線性空間的定義 254
6.1.2 線性空間的簡單性質 255
6.2 向量的線性關系 255
6.2.1 線性組合與線性表示 255
6.2.2 線性相關與線性無關 256
6.2.3 向量組的等價 259
6.2.4 極大錢性無關組 260
6.2.5 Fn 中向量線性關系的計算問題 261
6.2.6 一般線性空間中向量組的極大無關組的求法 264
6.3 基、維數(shù)與坐標 266
6.3.1 基、維數(shù)與坐標的定義及求法 266
6.3.2 基變換與坐標變換 269
6.4 子空間及其交與和 273
6.4.1 于空間 273
6.4.2 生成子空間 278
6.4.3 子空間的交與和 285
6.4.4 同時求生成子空間交與和的基 289
6.4.5 子空間的直和 292
6.4.6 余子空間 301
6.5 歐氏空間 303
6.5.1 向量的內(nèi)積 303
6.5.2 度量矩陣與標準正交基 305
6.5.3 Schmidt 標準正變化過程 312
6.5.4 Rm 中向量組的標準正變化與矩陣的正變?nèi)�角分�?313
6.5.5 歐民空間的子空間 317
6.6 線性空間的同構 322
6.6.1 同構映射與結性空間同構的定義 322
6.6.2 同構映射的性質 322
習題6 325
第7章 線性變換 328
7.1 線性變換的定義、運算與矩陣 328
7.1.1 線性變換的定義及其性質 328
7.1.2 線性變換的運算 330
7.1.3 線性變換的矩陣 332
7.1.4 線性變換的核與值埔 335
7.2 不變子空間、特征根與特征向量 344
7.2.1 不變子空間 344
7.2.2 線性變換的特征根與特征向量 349
7.2.3 特征子空間 355
7.2.4 線性變換的對角化 362
7.3 正交變換、對稱變換與反對稱變換 369
7.3.1 正變變換 369
7.3.2 對稱變換 374
7.3.3 反對稱變換 381
7.3.4 正變變換、對稱變換及反對稱變換的關系 381
7.4線性變換與矩陣一一對應的應用 383
7.4.1 用矩陣理論證明線性變換的問題 383
7.4.2 用錢性變換的理論證明矩陣問題 385
7.4.3 矩陣和線性變換交替使用 388
習題7 388
習題答案與提示 394
主要參考文獻 452
索引 453
《大學數(shù)學科學叢書》已出版書目 458