目錄
前言
第1章 線性方程組與矩陣 1
1.1 引言 1
1.2 線性方程組 2
1.2.1 線性方程組的相關概念 2
1.2.2 線性方程組的同解變換 3
1.3 矩陣 6
1.3.1 矩陣的概念 6
1.3.2 矩陣問題的例子 9
1.4 矩陣的初等變換與線性方程組的求解 12
1.4.1 矩陣初等變換的定義 12
1.4.2 用初等變換求解線性方程組的例子 13
習題 17
第2章 矩陣的運算 19
2.1 矩陣的線性運算 19
2.1.1 矩陣的加法 19
2.1.2 數(shù)與矩陣相乘 21
2.2 矩陣的乘法 22
2.2.1 引例 22
2.2.2 矩陣乘法的定義 23
2.2.3 矩陣乘法的運算性質 26
2.3 矩陣的轉置 30
2.4 分塊矩陣 32
2.4.1 分塊矩陣的定義 32
2.4.2 分塊矩陣的運算 32
2.4.3 幾種特殊的分塊方法與分塊矩陣 34
2.5 可逆矩陣 37
2.5.1 可逆矩陣的概念與性質 38
2.5.2 初等變換與矩陣求逆 38
習題二 44
第3章 方陣的行列式 47
3.1 二、三階行列式 47
3.2 n階行列式的定義 49
3.3 行列式的性質 51
3.3.1 基本性質 51
3.3.2 行列式的初等變換 53
3.3.3 方陣乘積的行列式 56
3.3.4 幾種常用的計算方法 61
3.4 行列式的應用 64
3.4.1 求可逆矩陣的逆矩陣 64
3.4.2 線性方程組的公式解 67
附錄 70
習題三 73
第4章 線性方程組解的理論 76
4.1 n維向量及其運算 76
4.2 向量組的線性相關性 79
4.2.1 線性表示與等價 79
4.2.2 線性相關與線性無關 81
4.2.3 線性相關性的判定定理 84
4.3 向量組的秩 87
4.3.1 極大線性無關組 87
4.3.2 向量組的秩及其性質 89
4.3.3 矩陣的行秩與列秩 89
4.3.4 矩陣秩的定義 92
4.3.5 矩陣秩的若干性質 93
4.3.6 定理4.7的應用舉例 96
4.4 向量空間 97
4.4.1 向量空間的概念 97
4.4.2 基、維數(shù)和坐標 99
4.5 線性方程組有解的條件 101
4.6 線性方程組解的結構 106
4.6.1 齊次線性方程組的解空間 106
4.6.2 非齊次線性方程組解的結構 111
附錄 113
習題四 115
第5章 方陣的特征值、特征向量和對角化 119
5.1 方陣的特征值與特征向量 119
5.1.1 引例 119
5.1.2 特征值與特征向量的定義 120
5.1.3 特征值存在的條件及基本性質 121
5.1.4 特征值與特征向量的求法 124
5.2 方陣的相似與對角化 126
5.2.1 相似矩陣及其性質 126
5.2.2 方陣的對角化 127
5.2.3 可對角化矩陣方冪的簡單求法 133
5.3 實向量的內積 134
5.3.1 向量內積的概念 134
5.3.2 正交向量組 136
5.3.3 Schmidt正交化 137
5.4 實對稱矩陣的對角化 139
5.4.1 復數(shù)的概念和性質 139
5.4.2 實對稱矩陣的特征值 139
5.4.3 實對稱矩陣的對角化 140
附錄 142
習題五 143
第6章 二次型 146
6.1 二次型及其矩陣表示 146
6.2 二次型的標準形 148
6.2.1 二次型的變量替換 148
6.2.2 矩陣的合同 149
6.2.3 合同變換法 150
6.2.4 配方法舉例 152
6.3 化實二次型為標準形和規(guī)范形 154
6.3.1 用正交變換化實二次型為標準形 154
6.3.2 實二次型的規(guī)范形 157
6.4 正定二次型及判定定理 158
附錄 160
習題六 163
習題答案 165
參考文獻 173