第1 章 緒論

1.1 研究背景

在自然界、人類社會的生產生活和科學技術領域(如生物學、物理學、醫(yī)學、經(jīng)濟學、金融學、控制理論等) 中，許多動態(tài)系統(tǒng)具有下列特點：在某些時刻系統(tǒng)的運動狀態(tài)可能會發(fā)生突然改變，并且這些突然改變所經(jīng)歷的時間相對于整個系統(tǒng)過程的運動時間而言是非常短暫的、可忽略不計的. 因而，這種系統(tǒng)的運動狀態(tài)發(fā)生的突然改變可以看成瞬時發(fā)生的， 也就是以脈沖的形式出現(xiàn). 這種現(xiàn)象就稱為所謂的“脈沖”現(xiàn)象，其發(fā)生突變的瞬間稱為脈沖時刻， 具有脈沖變化現(xiàn)象的系統(tǒng)稱為脈沖系統(tǒng). 常見的脈沖系統(tǒng)中，一些具體的脈沖變化形式有：“魚群生態(tài)系統(tǒng)的定時捕撈或補給”影響各種魚群的數(shù)量的突然改變、“電路系統(tǒng)中開關的斷開或閉合”會引起系統(tǒng)中電流的突然改變、“藥劑的注射”導致生物體內病菌數(shù)量的突然變化、“國家調控政策的實施或國內外市場環(huán)境的改變”使得股票價格表現(xiàn)出的突變式的漲或跌等.對于這類系統(tǒng)的研究， 如果仍然采用通常的無脈沖的微分方程來描述系統(tǒng)模型就不夠合理， 因而利用具有脈沖作用的微分方程(或差分方程)來刻畫其系統(tǒng)模型是比較理想的選擇， 它能更真實地刻畫和反映這些運動過程.

脈沖能引起系統(tǒng)狀態(tài)的突然變化. 正因為如此， 在生態(tài)學、醫(yī)學、經(jīng)濟、金融、化工、通信等各個領域的系統(tǒng)研究中，脈沖有著廣泛的應用. 人們根據(jù)自身的需求，設計出脈沖控制使系統(tǒng)具有所期望的穩(wěn)定性， 即制造合適的脈沖使之對于系統(tǒng)起到積極作用.例如通過定時捕撈或補給可以控制魚群的生態(tài)平衡， 通過某些開關的斷開或閉合可以控制電路中電流的大小，通過國家調控政策的實施使得資本市場保持積極穩(wěn)定的狀態(tài)等. 脈沖控制是基于脈沖微分方程的控制方法.

一般來說， 研究脈沖微分方程是以無脈沖微分方程的方法為依據(jù)， 并克服由于脈沖所引起的困難. 因此，對于脈沖微分方程的研究無疑要比研究相應的無脈沖微分方程復雜得很多. 脈沖的作用表現(xiàn)在數(shù)學模型上，就是適當?shù)拿}沖能使不穩(wěn)定的系統(tǒng)變得穩(wěn)定， 使無界的解變得有界等“積極”作用. 當然， 不恰當?shù)拿}沖能使穩(wěn)定的系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，起到相反的作用， 它符合任何事物都存在兩面性的自然規(guī)律，這也正是脈沖控制的意義和目的所在.

時滯是自然界中廣泛存在的一種現(xiàn)象. 例如， 帶式運輸機中物料傳輸?shù)难舆t， 衛(wèi)星通訊中信號傳遞的延遲，網(wǎng)絡系統(tǒng)中數(shù)據(jù)傳送的延遲等都是典型的時滯現(xiàn)象. 時滯是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定， 導致系統(tǒng)產生不良性能的主要因素之一，因此研究具有時滯的脈沖系統(tǒng)是十分有必要的.

在控制系統(tǒng)中， 狀態(tài)變化的規(guī)律性的直觀表現(xiàn)在于系統(tǒng)的周期解的存在性、唯一性及其穩(wěn)定性等特性. 在現(xiàn)實生活中，有不少非線性系統(tǒng)可以由周期的脈沖系統(tǒng)來描述. 例如， 滿足一定環(huán)境條件下生物種群的捕獲系統(tǒng)， 往復運動的機械系統(tǒng)等.

一般的， 系統(tǒng)的研究對象分為確定性現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象(隨機現(xiàn)象). 確定性現(xiàn)象是指對所關注的對象的結果能夠預先確定的現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象則是指對所關注的對象的結果不能預先確定的現(xiàn)象. 它們都大量存在于自然界和人類社會當中，因而研究隨機脈沖系統(tǒng)是十分必要的.

Stefan Hilger 在1988 年的一篇博士論文中開始了對一般時間尺度的理論研究，隨后該理論發(fā)展迅速. 2001年專著Dynamic Equations on Time Scales: An Intro-duction withApplications的發(fā)表標志著一般時間尺度理論達到了一個高峰. 這個理論的初衷就是要統(tǒng)一連續(xù)和離散的情況，以往對于這兩種情況不得不分開分析. 由于一般時間尺度的統(tǒng)一性，一般時間尺度上脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究無疑對整個學科的發(fā)展具有重要的理論價值和應用前景.

由于計算機容量的快速增長和微電子技術的不斷進步，吸引系統(tǒng)分析與建模工作者、控制系統(tǒng)設計者盡可能采用數(shù)字計算機或微處理裝置解決他們希望解決的問題.而利用計算機或微處理裝置對系統(tǒng)進行實時控制或對系統(tǒng)進行模擬、分析或控制系統(tǒng)設計時， 必須將時間變量考慮為離散變量.因此要將所研究的系統(tǒng)考慮為離散系統(tǒng). 由于上述原因， 自20 世紀50 年代以來，離散控制系統(tǒng)的理論研究與實際應用工作逐漸受到控制理論界的廣泛重視， 取得了很大成就，使離散控制系統(tǒng)的分析設計成為控制理論的一個重要組成部分.

隨著科學技術的迅猛發(fā)展， 人們著眼的系統(tǒng)規(guī)模也越來越大， 隨機現(xiàn)象越來越復雜. 以往的理論體系已難以適用于這些新的問題，導致脈沖系統(tǒng)研究同時包含離散事件過程和連續(xù)變量過程的混雜動態(tài)系統(tǒng)的需要. 目前，混雜系統(tǒng)研究給控制理論及系統(tǒng)工程的研究帶來了新的機遇和挑戰(zhàn). 其中切換系統(tǒng)和脈沖系統(tǒng)是兩類典型的混雜系統(tǒng)，吸引著大量來自于應用數(shù)學、計算機科學、系統(tǒng)工程等領域的科學家的興趣.

本書的內容安排如下：

在本書的第1 章簡要介紹一下脈沖系統(tǒng)研究的背景意義及一些本書中常用的記號、定義和引理.

第2 章研究脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

第2.1 節(jié)給出一般時間尺度上脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、一致Lipschitz穩(wěn)定性的判據(jù).

第2.2 節(jié)介紹線性脈沖系統(tǒng)和線性時變奇異脈沖系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性.第3 章研究時滯脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

第3.1 節(jié)給出時滯脈沖線性系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性判據(jù)， 在脈沖點狀態(tài)變量與時滯有關的時滯脈沖線性系統(tǒng)一致穩(wěn)定的判據(jù).

第3.2 節(jié)研究脈沖泛函微分方程的穩(wěn)定性. 給出脈沖泛函微分方程嚴格穩(wěn)定的判據(jù)，并給出在脈沖點狀態(tài)變量與時滯有關的這類方程一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和實用穩(wěn)定的判據(jù).

第3.3 節(jié)研究一般時間尺度上時滯脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性.給出一般時間尺度上時滯脈沖系統(tǒng)一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定以及不穩(wěn)定的判據(jù)；并給出雙測度下一般時間尺度上時滯脈沖系統(tǒng)一致穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的判據(jù).

第4 章研究脈沖系統(tǒng)的可控性、可觀性.

第4.1 節(jié)給出分片線性時變脈沖系統(tǒng)的可控性、可觀性分析.

第4.2 節(jié)介紹復數(shù)域上脈沖系統(tǒng)的可達性、可觀性分析.

第4.3 節(jié)研究線性和線性時變切換脈沖系統(tǒng)的可控性、可觀性.

第5 章研究脈沖系統(tǒng)的邊值問題和周期解.

第5.1 節(jié)研究一階脈沖微分方程的非線性邊值問題.

第5.2 節(jié)研究一階脈沖泛函微分方程的非線性邊值問題.

第5.3 節(jié)介紹脈沖控制系統(tǒng)的平穩(wěn)振蕩.

第5.4 節(jié)給出一類變時刻單種群捕獲系統(tǒng)的周期解.

第6 章研究隨機脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定與控制問題.

第6.1 節(jié)介紹隨機脈沖開關系統(tǒng)的p 階穩(wěn)定性及一類線性隨機脈沖滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

第6.2 節(jié)研究隨機脈沖系統(tǒng)的H1 濾波. 研究一類帶脈沖效應的隨機Marko-vian 切換系統(tǒng)H1濾波問題以及一類不確定隨機脈沖系統(tǒng)的魯棒H1 濾波.

第6.3 節(jié)研究隨機脈沖系統(tǒng)的鎮(zhèn)定與控制問題. 具體地， (1) 討論一類帶脈沖效應和Markovian切換的不確定隨機系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性， 設計了線性輸出反饋控制器使系統(tǒng)魯棒隨機穩(wěn)定， 并提出了計算線性輸出反饋控制器的增益的方法；(2)研究一類帶Markovian 切換的不確定隨機脈沖系統(tǒng)的保成本控制問題；(3) 探討一類帶脈沖效應的隨機非線性系統(tǒng)的H1 鎮(zhèn)定問題，給出系統(tǒng)的線性狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器的設計方法；(4) 討論一類隨機非線性Markovian 切換系統(tǒng)的混雜控制問題，首先給出了系統(tǒng)在脈沖控制下的鎮(zhèn)定條件， 并在脈沖控制下， 設計系統(tǒng)的線性輸出反饋控制器.

第7 章研究離散脈沖系統(tǒng)的控制問題.

第7.1 節(jié)討論離散脈沖線性系統(tǒng)的H1 濾波和H1 輸出反饋鎮(zhèn)定. 分別研究了離散線性脈沖系統(tǒng)的H1 輸出反饋鎮(zhèn)定.一類離散脈沖不確定系統(tǒng)的H1 濾波器設計以及分片離散脈沖系統(tǒng)的濾波器設計問題.

第7.2 節(jié)給出離散脈沖時滯線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.

1.2 記號

第2 章 脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論

2.1 一般時間尺度上脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論首先給出一般時間尺度上脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論的一些基本概念.這些概念主要來自文獻[8]，[68].

設T 是一般時間尺度(一種非空的閉的實數(shù)集) 滿足有最小元素t0 > 0， 沒有最大元素.