格拉瑟曼編著的《金融工程中的蒙特卡羅方法》源于作者在哥倫比亞大學(xué)多年教學(xué)的講稿。書(shū)中介紹了蒙特卡羅方法在金融中的用途，并且將模擬用作呈現(xiàn)金融工程中模型和思想的工具�！督鹑诠こ讨械拿商乜_方法》大致分為三個(gè)部分。第一部分介紹了蒙特卡羅方法的基本原理，衍生定價(jià)基礎(chǔ)以及金融工程中一些最重要模型的實(shí)現(xiàn)。第二部分描述了如何改進(jìn)模擬精確度和效率。最后的第三部分講述了幾個(gè)特別的論題：價(jià)格敏感度估計(jì)，美式期權(quán)定價(jià)以及金融投資組合中的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)和信貸風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。
《金融工程中的蒙特卡羅方法》可供金融工程、金融數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)的研究生閱讀，也可供金融行業(yè)的從業(yè)人員及相關(guān)領(lǐng)域的專業(yè)人士和技術(shù)人員參考。
第1章 基礎(chǔ)
1.1蒙特卡羅原理
1.1.1介紹
1.1.2第一個(gè)例子
1.1.3模擬估計(jì)的有效性
1.2衍生品定價(jià)準(zhǔn)則
1.2.1定價(jià)和復(fù)制
1.2.2套利和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)
1.2.3基準(zhǔn)變換
1.2.4風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格
第2章 隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量的產(chǎn)生
2.1隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
2.1.1一般考慮
2.1.2線性同余發(fā)生器
2.1.3線性同余發(fā)生器的實(shí)現(xiàn)
第1章 基礎(chǔ)
1.1蒙特卡羅原理
1.1.1介紹
1.1.2第一個(gè)例子
1.1.3模擬估計(jì)的有效性
1.2衍生品定價(jià)準(zhǔn)則
1.2.1定價(jià)和復(fù)制
1.2.2套利和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)
1.2.3基準(zhǔn)變換
1.2.4風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格
第2章 隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)變量的產(chǎn)生
2.1隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
2.1.1一般考慮
2.1.2線性同余發(fā)生器
2.1.3線性同余發(fā)生器的實(shí)現(xiàn)
2.1.4格子結(jié)構(gòu)
2.1.5組合發(fā)生器和其他方法
2.2一般抽樣方法
2.2.1逆變換方法
.2.2.2接受–拒絕方法
2.3正態(tài)隨機(jī)變量和向量
2.3.1基本性質(zhì)
2.3.2一元正態(tài)變量的產(chǎn)生
2.3.3多維正態(tài)(樣本)的產(chǎn)生
第3章 構(gòu)造樣本路徑
3.1布朗運(yùn)動(dòng)
3.1.1一維情況
3.1.2多維情況
3.2幾何布朗運(yùn)動(dòng)
3.2.1基本屬性
3.2.2路徑依賴型期權(quán)
3.2.3多維情況
3.3gauss短期利率模型
3.3.1基本模型和模擬
3.3.2債券價(jià)格
3.3.3多因子模型
3.4平方根擴(kuò)散過(guò)程
3.4.1轉(zhuǎn)移密度函數(shù)
3.4.2gamma分布和poisson分布的抽樣
3.4.3債券價(jià)格
3.4.4擴(kuò)展
3.5帶跳躍的過(guò)程
3.5.1一個(gè)跳躍擴(kuò)散模型
3.5.2純跳躍過(guò)程
3.6遠(yuǎn)期利率模型:連續(xù)利率
3.6.1hjm框架
3.6.2離散漂移項(xiàng)
3.6.3實(shí)現(xiàn)
3.7遠(yuǎn)期利率模型:簡(jiǎn)單利率
3.7.1libor市場(chǎng)模型動(dòng)態(tài)過(guò)程
3.7.2衍生品定價(jià)
3.7.3模擬
3.7.4波動(dòng)率結(jié)構(gòu)和校準(zhǔn)
第4章 方差縮減技術(shù)
4.1控制變量法
4.1.1方法和例子
4.1.2多元控制變量
4.1.3小樣本事件
4.1.4非線性控制
4.2反向變異法
4.3分層抽樣法
4.3.1方法和例子
4.3.2應(yīng)用
4.3.3后分層
4.4拉丁超立方體抽樣法
4.5匹配標(biāo)的資產(chǎn)法
4.5.1路徑調(diào)整的矩匹配法
4.5.2加權(quán)的蒙特卡羅法
4.6重要性抽樣法
4.6.1原理和例子
4.6.2依賴路徑的期權(quán)
4.7結(jié)束語(yǔ)
第5章 準(zhǔn)蒙特卡羅
5.1一般原則
5.1.1偏差
5.1.2vandercorput序列
5.1.3koksma-hlawka邊界
5.1.4網(wǎng)格和序列
5.2低偏差序列
5.2.1halton序列和hammersley點(diǎn)集
5.2.2faure序列
5.2.3sobol’序列
5.2.4進(jìn)一步構(gòu)造
5.3格規(guī)則
5.4隨機(jī)準(zhǔn)蒙特卡羅
5.5金融中的應(yīng)用
5.5.1數(shù)值算例
5.5.2策略的實(shí)施
5.6結(jié)束語(yǔ)
第6章 離散法
6.1介紹
6.1.1euler方法與第一次修正
6.1.2收斂階
6.2二階方法
6.2.1標(biāo)量情況
6.2.2向量情況
6.2.3加入路徑依賴性
6.2.4外推法
6.3延伸
6.3.1一般擴(kuò)展
6.3.2跳躍–擴(kuò)散過(guò)程
6.3.3均方誤差的收斂
6.4極值和障礙跨越:布朗內(nèi)插法
6.5改變變量
6.6結(jié)束語(yǔ)
第7章 敏感性估計(jì)
7.1有限差分近似
7.1.1偏差和方差
7.1.2最優(yōu)均方誤差
7.2順向微分估計(jì)
7.2.1方法和例子
7.2.2無(wú)偏性成立的條件
7.2.3數(shù)值逼近及相關(guān)方法
7.3似然比方法
7.3.1方法和例子
7.3.2偏差和方差的性質(zhì)
7.3.3gamma
7.3.4逼近及相關(guān)方法
7.4結(jié)束語(yǔ)
第8章 美式期權(quán)定價(jià)
8.1問(wèn)題的公式表達(dá)
8.2參數(shù)逼近
8.3隨機(jī)樹(shù)方法
8.3.1高估計(jì)量
8.3.2低估計(jì)量
8.3.3實(shí)現(xiàn)
8.4狀態(tài)空間分割
8.5隨機(jī)網(wǎng)格方法
8.5.1一般框架
8.5.2似然比權(quán)重
8.6基于回歸的方法和權(quán)重
8.6.1逼近連續(xù)值
8.6.2回歸和網(wǎng)格權(quán)重
8.7對(duì)偶性
8.8結(jié)束語(yǔ)
第9章 在風(fēng)險(xiǎn)管理中的運(yùn)用
9.1損失概率和風(fēng)險(xiǎn)值
9.1.1背景
9.1.2var的計(jì)算
9.2運(yùn)用delta-gamma近似的方差縮減
9.2.1控制變量
9.2.2重點(diǎn)抽樣
9.2.3分層抽樣
9.3厚尾情況
9.3.1厚尾分布的建模
9.3.2delta-gamma近似
9.3.3方差縮減
9.4信用風(fēng)險(xiǎn)
9.4.1違約時(shí)間及估值
9.4.2違約的相關(guān)性
9.4.3投資組合信用風(fēng)險(xiǎn)
9.5結(jié)束語(yǔ)
附錄a收斂和置信區(qū)間
a.1收斂概念
a.2中心極限定理和置信區(qū)間
附錄b
b.1隨機(jī)微積分的結(jié)果
b.2ito公式
b.3隨機(jī)微分方程
b.4鞅
b.5測(cè)度變換
附錄c利率期限結(jié)構(gòu)
c.1期限結(jié)構(gòu)術(shù)語(yǔ)
c.2利率衍生品
參考文獻(xiàn)
索引
在討論“看上去是而實(shí)際不是隨機(jī)”的序列之前，我們應(yīng)該指明一個(gè)純隨機(jī)數(shù)發(fā)生器意味著什么：我們指的是產(chǎn)生一系列隨機(jī)變量的機(jī)制，并且這些隨機(jī)變量仉，鞏，…具有下述性質(zhì)：(i)每一個(gè)鞏服從[O，1]上的均勻分布； (ii)阢相互獨(dú)立．性質(zhì)(i)是一種方便但隨意選擇的規(guī)范化表述；從0到1／2之間的均勻分布，或是從其他簡(jiǎn)單分布中的取值，也都同樣有用．單位區(qū)間上的均勻隨機(jī)變量基本上可以轉(zhuǎn)換為其他任何分布的樣本，比如說(shuō)，用2．2節(jié)和2．3節(jié)中描述的方法．性質(zhì)(ii)更為重要．特別地，它意味著所有數(shù)對(duì)都應(yīng)該是不相關(guān)的，更一般地，∽的值不能通過(guò)u1，…，∽一，的值來(lái)預(yù)測(cè)．一個(gè)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器(為了強(qiáng)調(diào)它只是模擬隨機(jī)性，它經(jīng)常被叫做偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器)在單位區(qū)間里產(chǎn)生一個(gè)有限序列u。，n2…．，uK．通常地，所產(chǎn)生的值部分地依賴于用戶輸入的參數(shù)．任何這樣的序列都構(gòu)成獨(dú)立均勻分布∽…．，E，K的一組可能結(jié)果．一個(gè)好的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器要滿足一個(gè)要求(得承認(rèn)這個(gè)要求6-A嚴(yán)格)，即序~II@--／l@-(相對(duì)K來(lái)說(shuō))應(yīng)該很難與獨(dú)立均勻分布得到的序列相區(qū)別．因此，一個(gè)有效的發(fā)生器必須能夠產(chǎn)生符合上面的性質(zhì)(i)和(ii)的數(shù)值．如果數(shù)值的個(gè)數(shù)K很大，落在單位區(qū)間的任意一個(gè)子區(qū)間的數(shù)值的比例應(yīng)該大致與子區(qū)間長(zhǎng)度相等一這就是均勻性．獨(dú)立性表明這些數(shù)不應(yīng)該存在可觀察到的分布模式．用稍微精確的語(yǔ)言，即用統(tǒng)計(jì)的獨(dú)立性測(cè)試方法不能夠輕易地否定任何序列片段的獨(dú)立性．我們可以通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明以上及其他的一些考慮．線性同余發(fā)生器是下面形式的迭代： Xi+l。axi modm， f2．11u沖1=Xi+l／lYt， (2．2) 這里，乘子。和模數(shù)m都是常整數(shù)，在初始值(種子)z。給出后，它們將決定其他數(shù)值的產(chǎn)生．種子通常是由用戶給定的介于0和m一 1之間的正整數(shù)．運(yùn)算Ymod”z返回Y被m除后的余數(shù)(一個(gè)整數(shù))．換句話說(shuō)， Y rood_r，0=Y—I y／m l m， f2．31這里H代表小于等于z的最大整數(shù)．例如，7mod5=2； lOmod5=0；43mod5= 3；3 mod 5=3．由于modm運(yùn)算的結(jié)果總是介于0和m 一1之間的整數(shù)，所以由(2．1)(2．2)產(chǎn)生的輸出結(jié)果札i總是介于0和(m一1)／m之間；特別地，它們落在單位區(qū)間里．由于它的簡(jiǎn)單性和潛在的有效性，線性同余發(fā)生器在實(shí)際中得到最廣泛的應(yīng)用．我們將在2．1．2節(jié)對(duì)它們進(jìn)行詳細(xì)的討論．這里我們用它們來(lái)說(shuō)明在設(shè)計(jì)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器時(shí)的一般考慮．注意到，線性同余發(fā)生器有如下形式：z。+1=．廠(zi)， “。+1=9(zi+1)， (2 ．4)這里，。廠和9都是確定性函數(shù)．如果我們?cè)试Sz。是向量，那么這種一般形式幾乎包含所有隨機(jī)數(shù)發(fā)生器．在(2．1)中若n=6，m=11(在實(shí)際中，m應(yīng)該很大；這些值只是為了舉例說(shuō)明)，考慮由這個(gè)線性同余發(fā)生器產(chǎn)生的序列％從zo=1開(kāi)始，下一個(gè)值是 6 mod 11=6，接下來(lái)是(6×6)mod 11=3．因此種子 z0=1產(chǎn)生如下序列：1，6，3，7，9，10，5，8，4，2，1，6，．．．．某一數(shù)值一旦再現(xiàn)，整個(gè)序列也會(huì)開(kāi)始重復(fù)．的確，由于計(jì)算機(jī)只可能表示有限個(gè)數(shù)值，任何形如f2．4)中的式子的反復(fù)使用都將最終得到一個(gè)與前面某一z。
相同的數(shù)，然后zi后面的所有的數(shù)也會(huì)隨著重復(fù)．觀察上面這個(gè)例子，在數(shù)值開(kāi)始重復(fù)之前，介于1和m一1之間的所有十個(gè)不同整數(shù)全部出現(xiàn)在序列中f若我們讓序列從0開(kāi)始，則所有序列值都將為0，所以我們不允許z0=0)．如果我們保持m=1，但取n=3，種子z0=1，就會(huì)產(chǎn)生1，3，9，5，4，1…．，而z。=2就會(huì)產(chǎn)生2，6，7，10，8，2…．．因此，在這種情況下，可能值集合f1，2…．，10)分成兩個(gè)循環(huán)，這意味著不管zo取什么值，在數(shù)值重復(fù)之前，乘子o=3產(chǎn)生了五個(gè)不同數(shù)，而乘子n=6產(chǎn)生了所有十個(gè)不同數(shù)值．能產(chǎn)生全部m一1個(gè)不同數(shù)值的線性同余發(fā)生器稱作整周期的．在實(shí)際中，我們希望在有任何重復(fù)之前能夠產(chǎn)生(至少)上千萬(wàn)的不同數(shù)值．僅僅選擇很大的m值是不能保證這個(gè)性質(zhì)的．因?yàn)槿绻麉?shù)0和m選得不好，它可能導(dǎo)致數(shù)值在集合f1，2，…，m一1}中的一個(gè)小的子集上不斷循環(huán)重復(fù)。
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