到目前為止，我們所討論的都是各種曲面，也就是二維空間的拓?fù)鋵W(xué)性質(zhì)。我們同樣也可以對我們生存在內(nèi)的這個(gè)三維空間提出類似的問題。

　　這么一來，地圖著色問題在三維情況下就變成了：用不同的物質(zhì)制成不同形狀的鑲嵌體，并把它們拼成一塊，使得沒有兩塊同一種物質(zhì)制成的子塊有共同的接觸面，那么，需要用多少種物質(zhì)？什么樣的三維空間對應(yīng)于二維的球面或環(huán)狀圓紋曲面呢？能不能設(shè)想出一些特殊空間，它們與一般空間的關(guān)系正好同球面或環(huán)狀面與一般平面的關(guān)系一樣？乍一看，這個(gè)問題似乎提得很沒有道理，因?yàn)楸M管我們能很容易地想出許多式樣的曲面來，但卻一直傾向于認(rèn)為只有一種三維空間，即我們所熟悉并在其中生活的物理空間。然而，這種觀念是危險(xiǎn)的，有欺騙性的。只要發(fā)動一下想像力，我們就能想出一些與歐幾里得幾何教科書中所講述的空間大不相同的三維空間來。

　　要想像這樣一些古怪的空間，主要的困難在于，我們本身也是三維空間中的生物，我們只能“從內(nèi)部”來觀察這個(gè)空間，而不能像在觀察各種曲面時(shí)那樣“從外面”去觀察。不過，我們可以通過做幾節(jié)腦筋操，使自己在征服這些怪空間時(shí)不致過于困難。

　　首先讓我們建立一種性質(zhì)與球面相類似的三維空間模型。球面的主要性質(zhì)是：它沒有邊界，但卻具有確定的面積；它是彎曲的，自我封閉的。

　　能不能設(shè)想一種同樣自我封閉，從而具有確定體積而無明顯界面的三維空間呢？設(shè)想有兩個(gè)球體，各自限定在自己的球形表面內(nèi)，如同兩個(gè)未削皮的蘋果一樣。現(xiàn)在，設(shè)想這兩個(gè)球體“互相穿過”，沿外表面粘在一起。當(dāng)然，這并不是說，兩個(gè)物理學(xué)上的物體如蘋果，能被擠得互相穿過并把外皮粘連在一起。蘋果哪怕是被擠成碎塊，也不會互相穿過的。

　　或者，我們不如設(shè)想有個(gè)蘋果，被蟲子吃出彎曲盤結(jié)的隧道來。要設(shè)想有兩種蟲子，比如說一種黑的和一種白的；它們互相憎惡、互相回避，因此，蘋果內(nèi)兩種蟲蛀的隧道并不相通，盡管在蘋果皮上它們可以從緊挨著的兩點(diǎn)蛀食進(jìn)去。這樣一個(gè)蘋果，被這兩條蟲子蛀來蛀去，就會像圖18那樣，出現(xiàn)互相緊緊纏結(jié)、布滿整個(gè)蘋果內(nèi)部的雙股隧道。但是，盡管黑蟲和白蟲的隧道可以很接近，要想從這兩座迷宮中的任一座跑到另一座去，卻必須先走到表面才行。如果設(shè)想隧道越來越細(xì)，數(shù)目越來越多，最后就會在蘋果內(nèi)得到互相交錯(cuò)的兩個(gè)獨(dú)立空間，它們僅僅在公共表面上相連。

　　如果你不喜歡用蟲子作例子，不妨設(shè)想一種類似紐約的世界貿(mào)易大廈這座巨大球形建筑里的那種雙過道雙樓梯系統(tǒng)。設(shè)想每一套樓道系統(tǒng)都盤過整個(gè)球體，但要從其中一套的一個(gè)地點(diǎn)到達(dá)鄰近一套的一個(gè)地點(diǎn)，只能先走到球面上兩套樓道會合處，再往里走。我們說這兩個(gè)球體互相交錯(cuò)而不相妨礙。你和你的朋友可能離得很近，但要見見面、握握手，卻非得兜一個(gè)好大的圈子不可！必須注意，兩套樓道系統(tǒng)的連接點(diǎn)實(shí)際上與球內(nèi)的各點(diǎn)并沒有什么不同之處，因?yàn)槟憧偸强梢园颜麄�(gè)結(jié)構(gòu)變變形，把連接點(diǎn)弄到里面去，把原先在里面的點(diǎn)弄到外面來。還要注意，在這個(gè)模型中，盡管兩套隧道的總長度是確定的，卻沒有“死胡同”。你可以在樓道中走來走去，絕不會被墻壁或柵欄擋住；只要你走得足夠遠(yuǎn)，你一定會在某個(gè)時(shí)候重新走到你的出發(fā)點(diǎn)。如果從外面觀察整個(gè)結(jié)構(gòu)，你可以說，在這迷宮里行走的人總會回到出發(fā)點(diǎn)，只不過是由于樓道逐漸彎曲成球形。但是對于處在內(nèi)部、而且不知“外面”為何物的人來說，這個(gè)空間就表現(xiàn)為具有確定大小而無明確邊界的東西。我們在下一章將會看到，這種沒有明顯邊界、然而并非無限的“自我封閉的三維空間”在一般地討論宇宙的性質(zhì)時(shí)是非常有用的。事實(shí)上，過去用最強(qiáng)大的望遠(yuǎn)鏡所進(jìn)行的觀察似乎表明了，在我們視線的邊緣這樣遠(yuǎn)的距離上，宇宙好像開始彎曲了，這顯示出它有折回來自我封閉的明顯趨勢，就像那個(gè)被蛀食出隧道的蘋果的例子一樣。不過，在研究這些令人興奮的問題之前，我們還得再知道空間的其他性質(zhì)。

　　我們跟蘋果和蟲子的交道還沒有打完。下一個(gè)問題是：能否把一只被蟲子蛀過的蘋果變成一個(gè)面包圈。當(dāng)然，這并不是說把蘋果變成面包圈的味道，而只是說形狀變得一樣；我們所研究的是幾何學(xué)，而不是烹飪法。

　　讓我們?nèi)∫恢磺懊嬷v過的“雙蘋果”，也就是兩個(gè)“互相穿過”并且表皮“粘連在一起”的蘋果。假設(shè)有一只蟲子在其中一只蘋果里蛀出了一條環(huán)形隧道，如圖19所示。記住，是在一只蘋果里蛀的。所以，在隧道外的每一點(diǎn)都是屬于兩個(gè)蘋果的雙重點(diǎn)，而在隧道內(nèi)則只有那個(gè)未被蛀過的蘋果的物質(zhì)。這個(gè)“雙蘋果”現(xiàn)在有了一個(gè)由隧道內(nèi)壁構(gòu)成的自由表面（圖19a）。

　　如果假設(shè)蘋果具有很大的可塑性，怎么捏就怎么變形。在要求蘋果不發(fā)生裂口的條件下，能否把這個(gè)被蟲子蛀過的蘋果變成面包圈呢？為了便于操作，可以把蘋果切開，不過在進(jìn)行過必要的變形后，還應(yīng)把原切口粘起來。

　　首先，我們把粘住這“雙蘋果”的果皮的膠質(zhì)去除，將兩個(gè)蘋果分開（圖19b）。用Ⅰ和Ⅱ’這兩個(gè)數(shù)字表示這兩張表皮，以便在下面各步驟中盯住它們，并在最后重新把它們粘起來。然后，把那個(gè)被蛀出一條隧道的蘋果沿隧道切開（圖19c）。這一下又切出兩個(gè)新面來，記之以Ⅱ，Ⅱ’和Ⅲ，Ⅲ’，將來，還是要把它們粘回去的。現(xiàn)在，隧道的自由面顯示出來了，它應(yīng)該成為面包圈的自由面。好，現(xiàn)在就按圖19d的樣子來擺弄這幾塊零碎兒�，F(xiàn)在這個(gè)自由面被拉伸成老大一塊了（不過，按照我們的假定，這種物質(zhì)是可以任意伸縮的�。�。而切開的面Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的尺寸都變小了。與此同時(shí)，我們也對第二個(gè)蘋果進(jìn)行手術(shù)，把它縮小成櫻桃那么大�，F(xiàn)在開始往回粘。第一步先把Ⅲ，Ⅲ’粘上，這很容易做到，粘成后如圖19e所示。第二步把被縮小的蘋果放在第一個(gè)蘋果所形成的兩個(gè)夾口中間。收攏兩夾El，球面Ⅰ就和Ⅰ’重新粘在一起，被切開的面Ⅱ和Ⅱ’也再結(jié)合起來。這一來，我們就得到了一個(gè)面包圈，光溜溜的，多么精致！搞這些有什么用呢？沒有什么用，只不過讓你作作腦筋操，體會一下什么是想像的幾何學(xué)。這有助于理解彎曲空間和自我封閉空間這類不尋常的東西。

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