全書分上、下兩冊(cè).上冊(cè)包括函數(shù)、函數(shù)的極限、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分與不定積分、定積分、空間解析幾何6章內(nèi)容和一個(gè)附錄，附錄包括初等代數(shù)中的幾個(gè)問題、平面解析幾何、集合與邏輯符號(hào)等內(nèi)容.書中每節(jié)都配有適量的習(xí)題，每章配有部分具有一定難度的復(fù)習(xí)題，書末對(duì)大部分題目都給出了答案或提示.
本書結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、例題與插圖豐富、敘述直觀清晰、通俗易懂，可供普通高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生使用.
本書自2006年出版以來已連續(xù)印刷了4次.同時(shí)收到不少的意見和建議.
最近在北京、南京、廣州等地召開的有關(guān)普通高等院校微積分教學(xué)的研討會(huì)上，也圍繞這本教材進(jìn)行了討論.在此基礎(chǔ)上,我們對(duì)第一版進(jìn)行了修訂.
在本書第一版的“前言”中,我們提到了有關(guān)本書內(nèi)容安排的原則.在教學(xué)中如何具體地體現(xiàn)這些原則,當(dāng)然有賴于使用本教材的廣大師生的創(chuàng)造.乘本書修訂之機(jī),這里再多說幾句.
微積分這門課程,是一般大專院校絕大多數(shù)學(xué)生的必修課.對(duì)其中一部分學(xué)生來說,也許是他們大學(xué)階段惟一的一門數(shù)學(xué)課.而在當(dāng)今時(shí)代,數(shù)學(xué)修養(yǎng)已經(jīng)是衡量一個(gè)人潛在能力的重要標(biāo)志.因此我們的重點(diǎn)應(yīng)該是在這門課的教學(xué)中,力求使學(xué)者通過清晰的直覺和必要的推理,比較全面地、形象地理解這門課的基本內(nèi)容,而不只是孤立地、表面地、形式地背誦一些結(jié)論.
本書的對(duì)象是普通高等院校的學(xué)生.在現(xiàn)行的教育體制下,他們的入學(xué)分?jǐn)?shù)一般是中等,入學(xué)后數(shù)學(xué)課的學(xué)時(shí)偏少.因而需要把數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容作適當(dāng)?shù)木?jiǎn).但在精簡(jiǎn)中必須注意不能削弱對(duì)學(xué)生“清晰的直覺和必要的推理”這方面的訓(xùn)練;也不能把理應(yīng)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思維的教材變成只剩下一堆彼此不相干的定理、公式和“題型”的堆砌.
為了落實(shí)這種理念,在本版中,我們進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了基本內(nèi)容之間的聯(lián)系，即弄清新知識(shí)和原有知識(shí)之間的邏輯關(guān)系以及新知識(shí)彼此間的聯(lián)系.前者如初等數(shù)學(xué)和微積分之間的異同(不同之處在于有理數(shù)中的有限運(yùn)算和實(shí)數(shù)中的無窮運(yùn)算,而其中很多運(yùn)算規(guī)則又是相同的),一元微積分和二元微積分之間的異同;后者如可導(dǎo)與可微,導(dǎo)數(shù)與積分(都是利用無窮小化不均勻?yàn)榫鶆?但一個(gè)是無窮小之商,另一個(gè)是無窮小的無窮和),以及各種積分(一維定積分,二維曲線積分,二重積分等)的牛頓-萊布尼茨公式等.此外,本書還盡可能從多種角度來闡明一些基本概念和方法,例如求定積分時(shí)不同微元的選取,求多元函數(shù)極值中必要條件的引出等.希望這些安排能有助于學(xué)者對(duì)微積分的全面理解.
清晰的直覺除了有助于得到真正的知識(shí)以外,也是記住這些知識(shí)的重要方法.微積分是一門以極限為主要工具,以函數(shù)的各種性質(zhì)為主要研究對(duì)象的基礎(chǔ)課.應(yīng)該盡可能使學(xué)者學(xué)完后,在頭腦中留下一些比較鮮明的形象.所以本書增加了一些曲線和曲面的圖形,把一些通過推理所得的函數(shù)的重要性質(zhì)體現(xiàn)于典型的圖像之中(諸如曲線的升降、對(duì)稱、凹凸、彎曲、連續(xù)、光滑、微分和積分中值公式等).對(duì)一些一般書中往往只給出定義的梯度、散度和旋度這些重要的概念,本書也說明了它們的幾何與物理意義.
為了便于讀者自學(xué),在本版中,還增加了一批比較簡(jiǎn)明的例題和習(xí)題.在內(nèi)容方面,增加了一節(jié)“廣義積分”.
對(duì)于對(duì)本書提出意見的讀者,編者在此表示誠摯的謝意,并希望更多的讀者對(duì)本書提出批評(píng)和建議.
編 者
2007年12月
第1章 函數(shù)1
1.1 函數(shù)的概念與圖形4
1.1.1 函數(shù)的概念4
1.1.2 函數(shù)的圖形7
1.1.3 分段函數(shù)10
習(xí)題1.113
1.2 三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)13
1.2.1 三角函數(shù)13
1.2.2 指數(shù)函數(shù)16
1.2.3 反函數(shù)18
1.2.4 對(duì)數(shù)函數(shù)20
1.3 函數(shù)運(yùn)算21
1.3.1 函數(shù)的四則運(yùn)算21
1.3.2 復(fù)合函數(shù)22
1.3.3 函數(shù)圖形的運(yùn)算--平移23
習(xí)題1.325
1.4 函數(shù)的參數(shù)表示和極坐標(biāo)表示27
1.4.1 函數(shù)的參數(shù)表示27
1.4.2 函數(shù)的極坐標(biāo)表示28
復(fù)習(xí)題131
第2章 函數(shù)的極限33
2.1 函數(shù)在一點(diǎn)附近的性態(tài)、無窮小量33
2.1.1 無窮小量33
2.1.2 無窮小量的運(yùn)算和無窮小的階35
習(xí)題2.136
2.2 函數(shù)在一點(diǎn)的極限及在一點(diǎn)的連續(xù)性37
2.2.1 函數(shù)在一點(diǎn)的極限37
2.2.2 函數(shù)極限的運(yùn)算、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性40
2.2.3 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)42
習(xí)題2.245
復(fù)習(xí)題247
第3章 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)48
3.1 導(dǎo)數(shù)的概念48
3.1.1 正比關(guān)系48
3.1.2 函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)50
習(xí)題3.152
3.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算52
習(xí)題3.256
3.3 導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)58
習(xí)題3.360
3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用61
3.4.1 函數(shù)的圖形61
3.4.2 函數(shù)的極值和最值65
3.4.3 函數(shù)不定式的極限 69
習(xí)題3.473
復(fù)習(xí)題375
第4章 微分與不定積分77
4.1 微分的概念77
4.2 微分的運(yùn)算80
習(xí)題4.283
4.3 高階微分和泰勒公式84
4.3.1 函數(shù)在一點(diǎn)附近的泰勒展開式84
4.3.2 微分中值定理87
習(xí)題4.389
4.4 不定積分90
4.4.1 函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算--不定積分90
4.4.2 不定積分的性質(zhì)91
4.4.3 求不定積分舉例92
習(xí)題4.497
復(fù)習(xí)題4100
第5章 定積分101
5.1 定積分的定義101
5.2 定積分的性質(zhì)105
習(xí)題5.2106
5.3 定積分的計(jì)算107
習(xí)題5.3110
5.4 定積分的應(yīng)用111
5.4.1 極坐標(biāo)表示下求曲線所圍的面積111
5.4.2 平面曲線的弧長(zhǎng)及在一點(diǎn)的曲率112
5.4.3 旋轉(zhuǎn)曲面所圍的體積和面積116
5.4.4 平面圖形的重心118
5.4.5 變化的力所做的功119
習(xí)題5.4120
復(fù)習(xí)題5122
第6章 空間解析幾何124
6.1 三維空間的直角坐標(biāo)124
習(xí)題6.1125
6.2 兩點(diǎn)間的距離和方向126
習(xí)題6.2127
6.3 向量代數(shù)127
6.3.1 向量的加法與數(shù)乘向量128
6.3.2 向量的坐標(biāo)130
6.3.3 向量的內(nèi)積運(yùn)算130
6.3.4 向量的外積和混合積運(yùn)算132
習(xí)題6.3135
6.4 平面和空間直線方程136
6.4.1 平面方程136
6.4.2 空間直線方程137
習(xí)題6.4139
6.5 二次曲面140
習(xí)題6.5143
復(fù)習(xí)題6143
附錄A145
A.1 初等代數(shù)中的幾個(gè)問題145
A.1.1 一元二次方程145
A.1.2 代數(shù)不等式147
A.1.3 復(fù)數(shù)148
A.1.4 數(shù)列150
A.1.5 二項(xiàng)式定理151
A.2 平面解析幾何152
A.2.1 平面直線152
A.2.2 簡(jiǎn)單二次曲線153
A.3 集合與邏輯符號(hào)156
A.3.1 集合156
A.3.2 一些邏輯符號(hào)157
習(xí)題答案159
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