第1章  整數(shù)的可除性
  1.1 整除的概念、歐幾里得除法
    1.1.1 整除的概念
    1.1.2  Eratoshenes篩法
    1.1.3 歐幾里得除法 ——最小非負(fù)余數(shù)
    1.1.4 素數(shù)的平凡判別
    1.1.5 歐幾里得除法 ——一般余數(shù)
  1.2 整數(shù)的表示
    1.2.1 b進(jìn)制
    1.2.2 計算復(fù)雜性
  1.3 最大公因數(shù)與廣義歐幾里得除法
    1.3.1 最大公因數(shù)
    1.3.2 廣義歐幾里得除法及計算最大公因數(shù)
    1.3.3 B′ezout等式
    1.3.4 B′ezout等式的證明
    1.3.5 最大公因數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)
    1.3.6 多個整數(shù)的最大公因數(shù)及計算
    1.3.7 形為 2a1的整數(shù)及其最大公因數(shù)
  1.4 整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)
    1.4.1 整除的進(jìn)一步性質(zhì)
    1.4.2 最小公倍數(shù)
    1.4.3 最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)
    1.4.4 多個整數(shù)的最小公倍數(shù)
  1.5 整數(shù)分解
  1.6 素數(shù)的算術(shù)基本定理
    1.6.1 算術(shù)基本定理
    1.6.2 算術(shù)基本定理的應(yīng)用
  1.7 素數(shù)定理
  1.8 習(xí)題
第2章  同余
  2.1 同余的概念及基本性質(zhì)
    2.1.1 同余的概念
    2.1.2 同余的判斷
    2.1.3 同余的性質(zhì)
  2.2 剩余類及完全剩余系
    2.2.1 剩余類與剩余
    2.2.2 完全剩余系
    2.2.3 兩個模的完全剩余系
    2.2.4 多個模的完全剩余系
  2.3 簡化剩余系與歐拉函數(shù)
    2.3.1 歐拉函數(shù)
    2.3.2 簡化剩余類與簡化剩余系
    2.3.3 兩個模的簡化剩余系
    2.3.4 歐拉函數(shù)的性質(zhì)
  2.4 歐拉定理、費馬小定理和 Wilson定理
    2.4.1 歐拉定理
    2.4.2 費馬小定理
    2.4.3  Wilson定理
  2.5 模重復(fù)平方計算法
  2.6 習(xí)題
第3章  同余式
  3.1 基本概念及一次同余式
    3.1.1 同余式的基本概念
    3.1.2 一次同余式
  3.2 中國剩余定理
    3.2.1 中國剩余定理：“物不知數(shù)”與韓信點兵
    3.2.2 兩個方程的中國剩余定理
    3.2.3 中國剩余定理之構(gòu)造證明
    3.2.4 中國剩余定理之遞歸證明
    3.2.5 中國剩余定理之應(yīng)用 ——算法優(yōu)化
  3.3 高次同余式的解數(shù)及解法
    3.3.1 高次同余式的解數(shù)
    3.3.2 高次同余式的提升
    3.3.3 高次同余式的提升 ——具體應(yīng)用
  3.4 素數(shù)模的同余式
    3.4.1 素數(shù)模的多項式歐幾里得除法
    3.4.2 素數(shù)模的同余式的簡化
    3.4.3 素數(shù)模的同余式的因式分解
    3.4.4 素數(shù)模的同余式的解數(shù)估計
  3.5 習(xí)題
第4章  二次同余式與平方剩余
  4.1 一般二次同余式
  4.2 模為奇素數(shù)的平方剩余與平方非剩余
  4.3 勒讓得符號
    4.3.1 勒讓得符號之運算性質(zhì)
    4.3.2 高斯引理
  4.4 二次互反律
  4.5 雅可比符號
  4.6 模平方根
    4.6.1 模 p平方根
    4.6.2 模 p平方根
    4.6.3 模 m平方根
  4.7 x2
  4.8 習(xí)題
第5章  原根與指標(biāo)
  5.1 指數(shù)及其基本性質(zhì)
    5.1.1 指數(shù)
    5.1.2 指數(shù)的基本性質(zhì)
    5.1.3 大指數(shù)的構(gòu)造
  5.2 原根
    5.2.1 模 p原根
    5.2.2 模 pα原根
    5.2.3 模 2α指數(shù)
    5.2.4 模 m原根
  5.3 指標(biāo)及 n次同余式
    5.3.1 指標(biāo)
    5.3.2 n次同余式
  5.4 習(xí)題
第6章  素性檢驗
  6.1 偽素數(shù)
    6.1.1 偽素數(shù) Fermat素性檢驗
    6.1.2 無窮多偽素數(shù)
    6.1.3 平方因子的判別
    6.1.4 Carmicheal數(shù)
  6.2 Euler偽素數(shù)
    6.2.1 Euler偽素數(shù)、Solovay-Stassen素性檢驗
    6.2.2 無窮多 Euler偽素數(shù)
  6.3 強偽素數(shù)
    6.3.1 強偽素數(shù)、Miller-Rabin素性檢驗
    6.3.2 無窮多強偽素數(shù)
  6.4 習(xí)題
第7章  連分?jǐn)?shù)
  7.1 簡單連分?jǐn)?shù)
    7.1.1 簡單連分?jǐn)?shù)構(gòu)造
    7.1.2 簡單連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)
    7.1.3 重要常數(shù)e,π,γ的簡單連分?jǐn)?shù)
  7.2 連分?jǐn)?shù)
    7.2.1 基本概念及性質(zhì)
    7.2.2 連分?jǐn)?shù)的漸近分?jǐn)?shù)
  7.3 簡單連分?jǐn)?shù)的進(jìn)一步性質(zhì)
  7.4 最佳逼近
  7.5 循環(huán)連分?jǐn)?shù)
  7.6 √ n與因數(shù)分解
  7.7 習(xí)題
第8章  群
  8.1 群
    8.1.1 基本定義
    8.1.2 子群
  8.2 正規(guī)子群和商群
    8.2.1 陪集的拉格朗日定理
    8.2.2 陪集的進(jìn)一步性質(zhì)
    8.2.3 正規(guī)子群和商群
  8.3 同態(tài)和同構(gòu)
    8.3.1 基本概念
    8.3.2 同態(tài)分解定理
    8.3.3 同態(tài)分解定理的進(jìn)一步性質(zhì)
  8.4 習(xí)題
第9章  群的結(jié)構(gòu)
  9.1 循環(huán)群
    9.1.1 循環(huán)群
    9.1.2 循環(huán)子群的構(gòu)造
  9.2 有限生成交換群
  9.3 置換群
  9.4 習(xí)題
第10章  環(huán)與理想
  10.1 環(huán)
    10.1.1 基本定義
    10.1.2 零因子環(huán)
    10.1.3 整環(huán)及域
    10.1.4 交換環(huán)上的整除
  10.2 同態(tài)
  10.3 特征及素域
  10.4 分式域
  10.5 理想和商環(huán)
    10.5.1 理想
    10.5.2 商環(huán)
    10.5.3 環(huán)同態(tài)分解定理
  10.6 素理想
  10.7 習(xí)題
第11章  多項式環(huán)
  11.1 多項式整環(huán)
  11.2 多項式整除與不可約多項式
  11.3 多項式歐幾里得除法
  11.4 多項式同余
  11.5 本原多項式
  11.6 多項式理想
  11.7 多項式結(jié)式與判別式
  11.8 習(xí)題
第12章  域和 Galois理論
  12.1 域的擴(kuò)張
    12.1.1 域的有限擴(kuò)張
    12.1.2 域的代數(shù)擴(kuò)張
  12.2 Galois基本定理
    12.2.1 K-同構(gòu)
    12.2.2 Galois基本定理概述
    12.2.3 基本定理之證明
  12.3 可分域、代數(shù)閉包
    12.3.1 可分域
    12.3.2 代數(shù)閉包
  12.4 習(xí)題
第13章  域的結(jié)構(gòu)
  13.1 超越基
  13.2 有限域的構(gòu)造
  13.3 有限域的 Galois群
    13.3.1 有限域的 Frobenius映射
    13.3.2 有限域的 Galois群概述
  13.4 正規(guī)基
  13.5 習(xí)題
第14章  橢圓曲線
  14.1 橢圓曲線基本概念
  14.2 加法原理
    14.2.1 實數(shù)域 R上橢圓曲線
    14.2.2 素域 Fp (p> 3)上的橢圓曲線 E
    14.2.3 域 F2n (n》1)上的橢圓曲線 E, j(E)=0
  14.3 有限域上的橢圓曲線的階
  14.4 重復(fù)倍加算法
  14.5 習(xí)題
第15章   AKS素性檢驗
附錄A  三個數(shù)學(xué)難題
附錄B  周期序列
附錄C  前1280個素數(shù)及其原根表
附錄D  F359
  D.1 域F359中生成元g=7的冪指表：由k得到h=gk
  D.2 域F359中生成元g=7的指數(shù)表：由h得到gk=h
附錄E  F28=F2[x]/(x8+x4+x3+x2+1)
  E.1 域中生成元g=x的冪指表：由k得到h=gk
  E.2 域中生成元g=x的指數(shù)表：由h得到gk=h
  E.3 域中生成元g=x的冪的函數(shù)u2+u表：由k得到h=g2k+gk
  E.4 域中生成元g=x的廣義指數(shù)表：由h得到g2k+gk=h
附錄F  F28=F2[x]/(x8+x4+x3+x+1)
  F.1 域中生成元g=x+1的冪指表：由k得到h=gk
  F.2 域中生成元g=x+1的指數(shù)表：由h得到gk=h
  F.3 域中生成元g=x+1的冪的函數(shù)u2+u表：由k得到h=g2k+gk
  F.4 域中生成元g=x+1的廣義指數(shù)表：由h得到g2k+gk=h
索引
參考文獻(xiàn)