第一部分百變幻方——娛樂數(shù)學(xué)第一名題
　　本書分兩大部分，第一部分專門介紹幻方，第二部分介紹素?cái)?shù)。把幻方作為一個(gè)專題著重加以介紹，并非完全是由于筆者的偏愛，更主要的是因?yàn)榛梅皆趭蕵窋?shù)學(xué)中的地位以及它的意義實(shí)在非同一般，也因?yàn)榛梅绞侵袊?guó)人的首創(chuàng)，是值得中國(guó)人驕傲的。賴塞(H.J.Ryser)的名著《組合數(shù)學(xué)》（Combinatorial Mathematics）(MAA，1962)開宗明義地寫道：“組合數(shù)學(xué)，也稱為組合分析或組合學(xué)，是一門起源于古代的數(shù)學(xué)學(xué)科。據(jù)傳說，中國(guó)的大禹(約公元前2200年)在一只神龜?shù)谋成峡吹饺缦禄梅蕉�大約公元前1100年，排列即已在中國(guó)開始萌芽 ”
　　幻方從中國(guó)傳到世界其他地區(qū)以后，引起廣泛的重視，一代又一代的學(xué)者對(duì)它進(jìn)行不懈的研究，取得了許多成果，有關(guān)的文獻(xiàn)資料多不勝舉。數(shù)學(xué)家詹姆士 紐曼(James Roy Newman，1907～1966)在20世紀(jì)50年代編輯了一部數(shù)學(xué)文庫(kù)性質(zhì)的《數(shù)學(xué)世界》(The World of Mathematics，Tempus Books，1956)，收集了數(shù)學(xué)各個(gè)分支、各個(gè)年代的名家名篇133篇，分4大卷出版。在“數(shù)學(xué)游戲與數(shù)學(xué)謎語(yǔ)”這部分的開頭，紐曼在介紹中提到幻方時(shí)說道：“單單是有關(guān)幻方的著作就足夠辦一個(gè)規(guī)�？捎^的圖書館了(The writings on magic squares alone suffice to make a fair-sized library) �！弊x者在看過本書以后當(dāng)會(huì)相信紐曼的這個(gè)說法是一點(diǎn)也不過分的，筆者專用一部分介紹幻方也是有道理的。
　　引子 洛水神龜獻(xiàn)奇圖
　　公元前2200年，也就是距今4300年左右，在我們中華民族祖先居住的大地上，發(fā)生了暴雨連綿、洪水泛濫、成千上萬(wàn)的人遭到?jīng)]頂之災(zāi)的大悲劇。當(dāng)時(shí)人類抵御自然災(zāi)害的能力十分有限。在拯救自身生命的強(qiáng)烈愿望驅(qū)使下，人們奮起抗災(zāi)，在斗爭(zhēng)和失敗中學(xué)習(xí)，涌現(xiàn)出了許多可歌可泣的故事，其中大家最熟悉的是大禹為治水三過家門而不入的事跡。在大禹治水的過程中，還有許多美麗、動(dòng)人的傳說。例如，相傳大禹在治黃河的時(shí)候，黃河龍馬獻(xiàn)給大禹一張河圖，從而幫助大禹制定了一套正確的治黃方案。另一則傳說是大禹在治洛水的時(shí)候，洛水神龜獻(xiàn)給大禹一本洛書，書中有如圖0-1所示的一幅奇怪的圖。這幅圖用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)，就是一個(gè)3階幻方，也就是在3×3的方陣中填入1～9，其每行、每列和2條對(duì)角線上3個(gè)數(shù)字之和都相等，等于15，并把它叫做幻方常數(shù)(magic square constant)或幻和(magic sum)。這就是中國(guó)人首先發(fā)現(xiàn)的世界第一個(gè)幻方。別小看了這個(gè)小小的幻方，這是中國(guó)人在數(shù)學(xué)上的一個(gè)偉大創(chuàng)造，它奠定了數(shù)學(xué)中一個(gè)重要分支——組合學(xué)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，由于當(dāng)時(shí)還沒有發(fā)明我們今天所使用的數(shù)字符號(hào)，所以我們的祖先就巧妙地用這個(gè)圖來(lái)表達(dá)他們所知道的幻方。圖中，奇數(shù)用若干個(gè)空心的圓圈表示，偶數(shù)用若干個(gè)實(shí)心的圓圈表示，這和中國(guó)古時(shí)的陰陽(yáng)學(xué)說有關(guān)。
　　由于作為洛書3階幻方基礎(chǔ)的九宮數(shù)字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中就有清清楚楚的記載，因此，中國(guó)人首先發(fā)現(xiàn)了幻方，是國(guó)際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的。但是，幻方到底是什么時(shí)候出現(xiàn)的，有沒有實(shí)物為證？這個(gè)問題卻長(zhǎng)期得不到解決，直到20世紀(jì)70年代的一個(gè)考古發(fā)現(xiàn)才最終給出了答案。
　　圖0-1洛書上的3階幻方
　　1977年春，安徽省阜陽(yáng)縣(現(xiàn)改為“阜陽(yáng)市”)城郊的農(nóng)民在雙古堆平整土地時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩座古墓。文物工作者發(fā)掘后證明這是西漢汝陰侯的墓葬。汝陰侯是漢高帝劉邦對(duì)其同鄉(xiāng)的功臣夏侯嬰的封號(hào)。墓主人是第二代汝陰侯夏侯灶及其妻子。據(jù)史書記載，夏侯灶死于漢文帝15年，即公元前165年，距今已2170多年。出土文物中包括3件極為珍貴的中國(guó)古代天文儀器，其中一件叫“太乙九宮占盤”，是用來(lái)占卦的盤，分上盤和下盤兩部分，上盤嵌入下盤的凹槽，可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖0-2(a)所示。將盤上的古漢字轉(zhuǎn)寫成現(xiàn)代漢字以后如圖0-2（b)。由圖可見，太乙九宮占盤正面是按八卦位置和金、木、水、火、土五行屬性排列的，其九宮名稱和各宮節(jié)氣的天數(shù)與古書《靈樞經(jīng)》（這是《黃帝內(nèi)經(jīng)》的重要組成部分，是中國(guó)最早研究天氣變化與人體關(guān)系，以占風(fēng)圖0-2太乙九宮占盤候，治疾病的古書）完全一致。這個(gè)占盤就是用來(lái)測(cè)算立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至這8個(gè)節(jié)氣的，說明我們的祖先很早就掌握了季節(jié)變化的規(guī)律，這里我們不加詳述，感興趣的讀者可參閱《考古》1978年5月號(hào)上殷非的文章“西漢汝陰侯墓出土的占盤和天文儀器”。我們感興趣的是盤上圓圈中8個(gè)方位上的數(shù)字如果補(bǔ)上中心因安裝轉(zhuǎn)軸而無(wú)法刻上的“5”的話，恰為九宮數(shù)字“四九二，三五七，八一六”！因此，我國(guó)數(shù)學(xué)史專家梁宗巨先生在其遺作《世界數(shù)學(xué)通史》（遼寧教育出版社，2005）中認(rèn)定這是一個(gè)3階幻方的實(shí)物。根據(jù)盤上刻的該盤的制作年代“第三七年辛酉目中冬至”的字樣，專家已確切地考證出這是漢文帝7年（也就是公元前173年），因此幻方在中國(guó)的出現(xiàn)已有2180年以上的歷史，比根據(jù)《大戴禮記》的推算提前了兩個(gè)半世紀(jì)（但不知什么原因，梁先生書上只說提前了一個(gè)半世紀(jì)）�；梅胶髞�(lái)陸續(xù)傳播到日本、朝鮮、印度、泰國(guó)、阿拉伯等地，引起廣泛興趣和重視。但根據(jù)史料記載，國(guó)外最早研究幻方的學(xué)者當(dāng)推阿拉伯的塔比 伊本 夸兒拉(Thabitibn Qurrah，826～901)，那已是公元9世紀(jì)了。至于歐洲人知道幻方就更晚了，最早是生于康斯坦丁諾普爾(Constantinople)的印度人穆曉普魯斯(Manuel Moschopulus)首先在15世紀(jì)把幻方介紹到歐洲去的。
　　在中國(guó)古代，洛書3階幻方被蒙上了一層厚厚的神秘色彩。周朝的易學(xué)家把它同“九宮說”等同起來(lái)(九宮指乾、坎、艮、震、巽、離、坤、兌八卦之宮，外加中央之宮，合稱九宮)，或者把它同他們所主張的“天地生成數(shù)說”聯(lián)系起來(lái)(天數(shù)指奇數(shù)1、3、5、7、9，表陽(yáng)、乾、天等；地?cái)?shù)指2、4、6、8，表陰、坤、地等)。而兩漢時(shí)的巫師或方士則把它用作占卜吉兇的圖讖。在我國(guó)西藏地區(qū)，過去藏民普遍攜帶的一種護(hù)身符如圖0-3所示，除了有黃道十二宮和八卦以外，中央就是一個(gè)用藏文數(shù)字表示的3階幻方。此外，初版于1923年的《數(shù)學(xué)史》（D.E.Smith:History of Mathematics)中，轉(zhuǎn)載了拉薩出版物中一幅名為“生命之輪”（Wheel of Life）的畫，如圖0-4所示，也有類似的，但宗教色彩更濃厚，內(nèi)容更豐富的圖案，其中央也是一個(gè)3階幻方。另一方面，由于洛書3階幻方配置9個(gè)數(shù)字的均衡性和完美性，產(chǎn)生了極
　　圖0-3藏民的護(hù)身符
　　圖0-4“生命之輪”
　　大的審美效果，使古人認(rèn)為其中包含了某種至高無(wú)上的原則，也把它作為治國(guó)安民九類大法的模式，或把它視為舉行國(guó)事大典的明堂的格局，因此使中國(guó)古人的這一數(shù)學(xué)杰作，具有哲學(xué)意義的創(chuàng)造。
　　事實(shí)上，隱藏在洛書3階幻方背后，還可能有許多奧秘有待人們?nèi)ネ诰�。我�?guó)著名的科普作家兼娛樂數(shù)學(xué)專家談祥柏先生就曾在他的著作中介紹了有關(guān)對(duì)洛書3階幻方的新發(fā)現(xiàn)。首先是把幻方想像為畫在汽車輪胎上，于是，最左一列與最右一列相鄰，最上一行與最下一行也相鄰。這時(shí)，9個(gè)2×2方陣中的4數(shù)之和恰好從16到24，既不重復(fù)也不遺漏，如圖0-5所示。你說奇不奇?
　　其次，把每列數(shù)字看成一個(gè)3位數(shù)，則此3個(gè)3位數(shù)之和與其3個(gè)逆轉(zhuǎn)3位數(shù)之和相等，而且取它們的平方和也相等，即
　　276+951+438=672+159+834=1665
　　2762+9512+4382=6722+1592+8342=1172421
　　不僅如此，這種性質(zhì)對(duì)行來(lái)說也成立，即
　　492+357+816=294+753+618=1665
　　4922+3572+8162=2942+7532+6182=1035369
　　圖0-5洛書3階幻方9個(gè)2×2方陣形成連續(xù)數(shù)列
　　更有甚者，如果我們把對(duì)角線也分成兩族，自左上角到右下角的主對(duì)角線及與它平行的兩條折對(duì)角線稱為主族，反方向的對(duì)角線稱為副族，則上述奇妙性質(zhì)依然成立，即
　　主對(duì)角線族：654+798+213=456+897+312=1665
　　6542+7982+2132=4562+8972+3122=1109889
　　副對(duì)角線族：258+714+693=852+417+396=1665
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