第1章　無(wú)窮小的魔術(shù)
　　“數(shù)學(xué)是關(guān)于無(wú)窮的科學(xué)。”——大數(shù)學(xué)家希爾伯特名言
　　1. 從微積分說(shuō)起
　　有朋友對(duì)我說(shuō)，簡(jiǎn)單的初等數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)能記住，因?yàn)樗鼘?duì)日常生活很有用處，比如算賬什么的就需要。至于微積分嘛，早都還給老師去了，因?yàn)樗�與實(shí)際生活沒(méi)有關(guān)系��！微積分與我們?nèi)粘Ｉ�活真的無(wú)關(guān)嗎？其實(shí)不然，看了下面這幾個(gè)例子，也許你的看法就不一樣了。
　　你去爬山時(shí)一定注意過(guò)山坡的形狀，有的簡(jiǎn)單、有的復(fù)雜，或高或低、或平或陡。但無(wú)論何種形狀，山坡的高度總是隨著離山腳下出發(fā)點(diǎn)的距離而變化的。有的部分很陡，也就是說(shuō)高度變化得很快；而另一些部分比較平坦，即高度變化得慢，或者幾乎不變。如何來(lái)描述高度的這種變化呢？快還是慢，陡還是平？我們可以用一個(gè)叫“坡度”的數(shù)值來(lái)表示。坡度定義為高度的增加與你走過(guò)的水平距離的比值。比如，如果像圖1.1（a）所示的簡(jiǎn)單形狀，用初等數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單幾何知識(shí)就能描述，不就是幾條直線構(gòu)成的幾個(gè)三角形和矩形嗎？在這種情形下，坡度的計(jì)算也很簡(jiǎn)單，如圖中所示，用高度除以距離即可得到。圖1.1（a）中的山坡分成簡(jiǎn)單的3段：上坡、平地、下坡，在每一段中，坡度都將分別是一個(gè)常數(shù)。
　　數(shù)學(xué)中有一個(gè)更專業(yè)的詞匯來(lái)描述上面例子中的山坡形狀，那就是“函數(shù)”。函數(shù)是用來(lái)描述變量之間的關(guān)系的，比如說(shuō)，在上面的例子中，山坡的高度y隨著離出發(fā)點(diǎn)O的水平距離x而變化，也就是說(shuō)，y是x的函數(shù)。這里，y是函數(shù)，x叫作自變量。函數(shù)和自變量的關(guān)系可以用像圖1.1（a）中所畫(huà)的類似曲線來(lái)描述，而剛才爬山例子中所說(shuō)的“坡度”，也有一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)：曲線的斜率。斜率表征了函數(shù)在某點(diǎn)的變化快慢，它的計(jì)算便需要用到微積分。
　　當(dāng)然，如果山坡的形狀很簡(jiǎn)單，并不需要用微積分來(lái)計(jì)算坡度，比如像圖1.1（a）的情況，山坡的每一段都是直線，計(jì)算坡度時(shí)只需要用這一段山坡高度的變化Δy除以水平距離的變化Δx就行了。從圖1.1（a）的圖形來(lái)估計(jì)，第一段山路的坡度大約等于1；第二段山路中高度沒(méi)有變化，坡度為0；第三段是很陡的下坡路，坡度是負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大于1。
　　但是，如果山坡的形狀比較復(fù)雜如圖1.1（b）所示，坡度就不方便用初等數(shù)學(xué)來(lái)計(jì)算了。這時(shí)候，就需要用到微積分這個(gè)銳利的工具。
　　因此，可以粗略地說(shuō)，微積分是用來(lái)研究函數(shù)是如何變化的。
　　圖1.1　山坡形狀及坡度計(jì)算
　　首先，它可以被用來(lái)計(jì)算函數(shù)變化的斜率，從而考察函數(shù)變化的快慢。當(dāng)函數(shù)很復(fù)雜，是個(gè)任意形狀的曲線時(shí)，斜率的計(jì)算也變得很復(fù)雜，這時(shí)候，微積分便被派來(lái)解決這種問(wèn)題。
　　在日常生活中，復(fù)雜的函數(shù)形狀比比皆是。由于我們的世界處于不斷的變化和運(yùn)動(dòng)之中，一切皆變數(shù)，到處都是“變量”，幾乎在每一個(gè)領(lǐng)域，都能見(jiàn)到使用各種曲線來(lái)描述經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、公司的業(yè)績(jī)、員工的增長(zhǎng)、交通的繁忙 如何深入研究這些變化呢？答案就是微積分。
　　比如，圖1.2所示的股票市場(chǎng)、溫度變化、心電圖等，這些曲線都可用微積分來(lái)分析。
　　讓我們?cè)倩氐缴狡碌睦�子，解釋如何�?jì)算坡度。初等數(shù)學(xué)只能處理簡(jiǎn)單的函數(shù)，計(jì)算如同圖1.1（a）所示的山坡形狀的坡度。如果碰到變化多端的任意形狀的函數(shù)，該如何計(jì)算斜率呢？比如，如何計(jì)算圖1.1（b）所示的那種復(fù)雜山坡的坡度呢？
　　當(dāng)然，我們?nèi)匀豢梢匝赜脠D1.1（a）所示的方法，用高度Δy除以距離Δx來(lái)計(jì)算，但這時(shí)得到的數(shù)值只能算是某一段距離Δx中的平均坡度。如果我們改變計(jì)算所用的Δx的大小，平均坡度也將隨之變化。例如，當(dāng)我們要計(jì)算圖1.1（c）中某一個(gè)點(diǎn)A附近的坡度，
　　圖1.2　日常生活中的函數(shù)
　　可以采取如下步驟：從A點(diǎn)的x開(kāi)始，首先增加到x＋Δx1，如果y的改變?yōu)棣�y1，便能算出第一個(gè)平均坡度P1＝Δy1/Δx1。然后，逐次減小Δx1使之成為Δx2， Δx3， ， Δxn，相應(yīng)地得到y(tǒng)的增量：Δy2， Δy3， ， Δyn，最后，分別計(jì)算相應(yīng)的坡度P2， P3， ， Pn。P1， P2， P3， ， Pn是對(duì)應(yīng)于x的一系列增量Δx1， Δx2， Δx3， ， Δxn的平均坡度。如果要更為準(zhǔn)確地反映某一“點(diǎn)A”的坡度，就必須將計(jì)算的范圍，即Δx取得更小，更靠近這個(gè)“點(diǎn)A”。我們?nèi)绱讼胂笙氯�，Δx越來(lái)越小，那么Δy也會(huì)越來(lái)越小 最后得到的比值P＝Δy/Δx便可以表示“點(diǎn)A”的坡度了。
　　上述段落中所描述的便是使用微積分來(lái)計(jì)算斜率的思想。微積分是“微分”和“積分”的統(tǒng)稱。所謂微分的意思就是說(shuō)，將自變量的變化Δx變得微小又微小，直到“無(wú)限小”，而觀察函數(shù)y是如何變化的。一般來(lái)說(shuō)，y的變化Δy也會(huì)是一個(gè)“無(wú)限小”的量。但人們關(guān)心的是這兩個(gè)“無(wú)限小”量的比值，即上面例子中所描述的山坡在點(diǎn)A的坡度P，或在一般情形下稱之為曲線在該點(diǎn)的斜率P。我們將這個(gè)值P叫作函數(shù)y對(duì)x在給定點(diǎn)的微分，也叫作y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。
　　“無(wú)窮小”或“無(wú)限小”，是一個(gè)有趣又有用的概念。如我們本章開(kāi)頭所引用的大數(shù)學(xué)家希爾伯特的名言所說(shuō)的那樣，數(shù)學(xué)就是研究“無(wú)窮”的科學(xué)。希爾伯特還說(shuō)過(guò)：“無(wú)窮！再也沒(méi)有其他問(wèn)題如此深刻地打動(dòng)過(guò)人類的心靈�！钡拇_如此，“無(wú)窮大”和“無(wú)窮小”這兩個(gè)神秘而又令人困惑的詞與現(xiàn)代數(shù)學(xué)，進(jìn)而與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)緊緊地聯(lián)系在一起。它們深刻地影響了人類的精神，激勵(lì)著人類的智力�！盁o(wú)窮小”在人類的科學(xué)技術(shù)舞臺(tái)上變換表演出各種精湛絕美的魔術(shù)，也就是我們將要在本章看到的“無(wú)窮小”的魔術(shù)。
　　生活中經(jīng)常碰到的需要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的例子是計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體的速度。比如我們開(kāi)車出外旅游，汽車行駛的距離s便是時(shí)間t的函數(shù)，汽車的速度v就是距離隨著時(shí)間的增長(zhǎng)率。速度v是不停變化的，所謂需要計(jì)算汽車在某個(gè)時(shí)刻的“瞬時(shí)速度”，也就是計(jì)算函數(shù)s對(duì)時(shí)間t在一個(gè)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)。
　　從以上的介紹我們明白了，微分的方法可用來(lái)求變量的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算函數(shù)的增長(zhǎng)率、坡度、速度等。積分又有何用途呢？積分實(shí)際上是微分的逆運(yùn)算，也就是說(shuō)，從山坡的坡度反過(guò)來(lái)計(jì)算山坡的高度�；蛘哒f(shuō)，知道汽車在所有點(diǎn)的瞬時(shí)速度，反過(guò)來(lái)計(jì)算汽車行駛的距離時(shí)，就需要用到積分（圖1.3）。對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)，比如圖1.3（a）所示的勻速運(yùn)動(dòng)，已知速度求距離很簡(jiǎn)單，只需要將速度乘時(shí)間即可，對(duì)應(yīng)于圖1.3（a）中陰影矩形的面積。然而，如果速度隨時(shí)間不停變化，如圖1.3（b）所示的變速運(yùn)動(dòng)，這時(shí)候需要計(jì)算面積的圖形形狀就不是簡(jiǎn)單的矩形了。那么，應(yīng)該如何來(lái)計(jì)算一個(gè)任意形狀的圖形面積呢？積分的思想就是把這個(gè)圖形分成n個(gè)狹窄的、寬度為Δx的長(zhǎng)條，然后把所有長(zhǎng)條的面積加起來(lái)，得到Sn。當(dāng)這些長(zhǎng)條的寬度Δx趨近于“無(wú)限小”時(shí)，Sn趨近的數(shù)值就等于曲線下形成的圖形的面積，也就是速度函數(shù)的積分值，即距離。
　　圖1.3　勻速運(yùn)動(dòng)和變速運(yùn)動(dòng)時(shí)的求積分運(yùn)算
　　這種將變量的變化趨于“無(wú)限小”的想法，也就是所謂的“極限”概念，是微積分的基本思想。現(xiàn)在我們說(shuō)起“極限”來(lái)，好像并不難理解。但是，從產(chǎn)生這種最初的極限思想開(kāi)始，又將其發(fā)展概括，最后整理歸納為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，人類每一步走過(guò)來(lái)，都?xì)v經(jīng)了漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程。下一節(jié)，筆者便帶你簡(jiǎn)單地回顧極限概念的發(fā)展歷史。
　　2. 阿基里斯能追上烏龜嗎？
　　極限這個(gè)字眼激發(fā)我們無(wú)限的想象，首先讓我們聯(lián)想到的是人們常常說(shuō)的一句話：“挑戰(zhàn)極限�！辈贿^(guò)，在數(shù)學(xué)上，極限有它獨(dú)特的含義，表示的是一種數(shù)學(xué)量無(wú)限趨近某個(gè)固定數(shù)值。極限思想的萌芽階段可以上溯到兩千多年前。希臘哲學(xué)家芝諾（Zeno of Elea，公元前490~前430年）曾經(jīng)提出一個(gè)著名的阿基里斯悖論，這就是古希臘極限萌芽意識(shí)的典型體現(xiàn)。
　　阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄人物，參與了特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)，被稱為“希臘第一勇士”。假設(shè)他跑步的速度為烏龜?shù)?0倍，比如說(shuō)，阿基里斯每秒鐘跑10m，烏龜每秒鐘跑1m。出發(fā)時(shí)，烏龜在他前面100m處。按照我們每個(gè)人都具備的常識(shí)，阿基里斯很快就能追上并超過(guò)烏龜。我們可以簡(jiǎn)單地計(jì)算一下20s之后阿基里斯和烏龜在哪里？20s之后，阿基里斯跑到了離他出發(fā)點(diǎn)200m的地方，而烏龜呢，只在離它自己出發(fā)點(diǎn)的20m之處，也就是距阿基里斯出發(fā)點(diǎn)的120m之處，阿基里斯顯然早就超過(guò)了它（圖1.4）。
　　但是，從古至今的哲學(xué)家們都喜歡狡辯，芝諾說(shuō)：“不對(duì)，阿基里斯永遠(yuǎn)都趕不上烏龜！”為什么呢？芝諾說(shuō)，你看，開(kāi)始的時(shí)候，烏龜超過(guò)阿基里斯100m，當(dāng)阿基里斯跑了100m到了烏龜開(kāi)始的位置時(shí)，烏龜已經(jīng)向前爬了10m，這時(shí)候，烏龜超前阿基里斯10m；然后，我們就可以一直這樣說(shuō)下去：當(dāng)阿基里斯又跑了10m后烏龜超前1米；下一時(shí)刻，烏龜超前0.1m；再下一刻，烏龜超前0.01m， 0.001m， 0.0001m 不管這個(gè)數(shù)值變得多么小，烏龜永遠(yuǎn)在阿基里斯前面。所以，阿基里斯不可能追上烏龜。
　　正如柏拉圖所言，芝諾編出這樣的悖論，或許是興之所至而開(kāi)的小玩笑。芝諾當(dāng)然知道阿基里斯能夠趕上烏龜，但他的狡辯聽(tīng)起來(lái)也似乎頗有道理，怎樣才能反駁芝諾的悖論呢？
　　再仔細(xì)分析一下這個(gè)問(wèn)題。將阿基里斯開(kāi)始的位置設(shè)為0點(diǎn)，那時(shí)烏龜在阿基里斯前面100m，位置＝100m。我們可以計(jì)算一下在比賽開(kāi)始（100/9）s之后，阿基里斯及烏龜?shù)奈恢�。阿基里斯跑了�?000/9）m，烏龜跑了（100/9）m，加上原來(lái)的100m，烏龜所在的位置＝（100/9＋100）m＝（1000/9）m，與阿基里斯在同一個(gè)位置，說(shuō)明在（100/9）s的時(shí)候阿基里斯追上了烏龜。但是，按照悖論的邏輯，將這11s＋（1/9）s的時(shí)間間隔無(wú)限細(xì)分，給我們一種好像這段時(shí)間永遠(yuǎn)也過(guò)不完的印象。就好比說(shuō)，你有1t的時(shí)間，過(guò)了一半，還有（1/2）t；又過(guò)了一半，還有（1/4）t；又過(guò)了一半，你還有（1/8）t， （1/16）t，（1/32）t 一直下去，好像這后面的半小時(shí)永遠(yuǎn)也過(guò)不完了，這當(dāng)然與實(shí)際情況不符。事實(shí)上，無(wú)論你將這后面的半小時(shí)分
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