第六章 不定積分
第六、七、八章的內(nèi)容統(tǒng)稱為一元函數(shù)的積分學.積分學與微分學密切聯(lián)系，共同組成了分析學的基本內(nèi)容.積分學的產(chǎn)生與發(fā)展源于一些實際問題的解決，如兩千多年前的希臘數(shù)學家阿基米德(Archimedes)用窮竭法計算出了拋物線弓形的面積，我國南北朝時期的祖沖之和他的兒子祖也曾推導出某些圖形的面積和體積，這些都是用無限小過程處理特殊形狀的面積的例子.雖然求積問題自古以來就被直觀地、經(jīng)驗地理解著，并且得到了正確的計算結(jié)果，但這只是個別問題的解決，始終缺乏一般的計算方法，與一門系統(tǒng)學科的形成還相距甚遠.
直到十七世紀，由于天文、航海以及生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展，大量的問題亟待解決，這些問題大致歸為以下四類:第一類是已知距離求速度與加速度以及已知加速度，求速度與距離;第二類是求曲線的切線;第三類是求函數(shù)的最大、最小值;第四類是求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積以及兩個物體之間的引力.雖然在一些數(shù)學家的努力下，有關(guān)微分學問題解決得比較圓滿，積分學中的某些問題也得到了一些好的結(jié)果，但是當時所使用的方法要么不具有普遍性，要么有的方法本身雖然孕育著有普遍性的含義，但卻沒有人能充分理解微分與積分這兩類問題之間的相互關(guān)系的重要意義，因而都沒有創(chuàng)立微積分.最終，牛頓和萊布尼茨在總結(jié)前的方法的基礎上，都各自獨立地看到了積分問題是微分的逆問題，并建立起成熟的具有普遍意義的方法.由于牛頓和萊布尼茨各自研究的角度不同，牛頓是利用導數(shù)與反導數(shù)，即不定積分來解決微積分問題，而萊布尼茨則強調(diào)微分及\微分的和"，因而就形成了不定積分與定積分.
第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)