序言 本書第1版是為中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院統(tǒng)計學(xué)專業(yè)、精算專業(yè)所開設(shè)的選修課實變函數(shù)論配置的講義。出版過程中，恰逢2011年2月國務(wù)院學(xué)位委員會第二十八次會議通過了新的《學(xué)位授予和人才培養(yǎng)學(xué)科目錄》，統(tǒng)計學(xué)升為一級學(xué)科，設(shè)在理學(xué)門類中。實際上，現(xiàn)在的一級學(xué)科統(tǒng)計學(xué)就是將原來的一級學(xué)科應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)下的二級學(xué)科統(tǒng)計學(xué)和一級學(xué)科數(shù)學(xué)下的二級學(xué)科概率論與數(shù)理統(tǒng)計合并而成，這為我國統(tǒng)計學(xué)的進一步發(fā)展提供了更大的平臺，同時，對統(tǒng)計學(xué)一級學(xué)科下的課程體系也提出了更高的要求。為適應(yīng)這一要求，中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院將實變函數(shù)論這門課程調(diào)整為統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的必修課。因此，我們決定出版《實變函數(shù)論》第2版，對在這四年的使用中發(fā)現(xiàn)的不妥之處進行修改和完善，使得本教材更加嚴謹、科學(xué)。自本書第1版出版后，部分兄弟院校的統(tǒng)計學(xué)院（系）將本書作為教材并提出了許多寶貴建議，在此特表示感謝。
編者2016年11月

實變函數(shù)論是中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院為本科生開設(shè)的一門選修課，總課時約54學(xué)時.從實變函數(shù)的內(nèi)在邏輯體系來看，集合及其運算（包括集合列的極限運算）是基礎(chǔ)，開、閉集是構(gòu)成可測集的基石；而可測集上的特征函數(shù)不但是構(gòu)造一般可測函數(shù)的基礎(chǔ)，而且是聯(lián)系測度和積分的紐帶，因此，我們對其進行重點講述. 在內(nèi)容的選取上，本書充分考慮了統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的特點，去掉了一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)證明. 在學(xué)習(xí)勒貝格積分之后，馬上學(xué)習(xí)Lp空間，為進一步學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的后續(xù)課程做好準備.本書的編寫力求做到下面兩點：第一，本著由淺入深、循序漸進的原則.比如，第2章測度理論的編寫，先詳細討論直線上勒貝格測度及直線上勒貝格可測集的構(gòu)造，然后以此為基礎(chǔ)，相關(guān)的結(jié)論可平行推廣到n維歐氏空間上.由此進一步考慮一般抽象空間上的測度論.第二，注重學(xué)以致用.在保持實變函數(shù)理論核心知識體系的同時，盡量簡明扼要，使讀者既見樹木又見森林；每章均配備有代表性的例題和習(xí)題，這樣不但有助于加深對抽象概念及命題的認識和理解，而且有助于對實變函數(shù)理論特有的推理方法的理解和掌握.總之，設(shè)置本課程的目的，在于培養(yǎng)學(xué)生掌握有關(guān)勒貝格測度與勒貝格積分方面的基本知識和技能，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，提高應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法分析和解決問題的能力.教學(xué)應(yīng)達到的總體目標是：1. 使學(xué)生系統(tǒng)地掌握各種勒貝格測度、勒貝格積分的定義思想與過程；2. 使學(xué)生掌握勒貝格測度與勒貝格積分的特點、應(yīng)用條件以及與黎曼積分之間的關(guān)系；3. 提高學(xué)生掌握和運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本知識的能力.本書根據(jù)作者在中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院講授實變函數(shù)論所積累的講稿整理而成. 課程的助教和幾位研究生為此付出了很多努力，在此表示感謝. 特別要感謝周生彬博士，在內(nèi)容修改和習(xí)題配置方面他花費了許多寶貴時間，沒有他的貢獻，本書很難按時完成. 同時，要感謝中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院將這本選修課講義列為學(xué)院的十二五規(guī)劃教材，使得本書有機會完成寫作和出版.由于編者水平所限，謬誤之處在所難免，敬請批評指正.
編者2012年2月