第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何
　　本章的核心內(nèi)容是空間解析幾何，即用代數(shù)方法研究空間幾何圖形，它是平面解析幾何的推廣，為學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分學(xué)奠定了基礎(chǔ). 而向量代數(shù)作為研究空間解析幾何的工具，在物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)上具有廣泛的應(yīng)用.
　　8.1 向量及其線性運(yùn)算
　　8.1.1 空間直角坐標(biāo)系
　　問題 圓是平面圖形，在平面直角坐標(biāo)系中，其方程可表示為，而球面是空間圖形，那么怎樣用代數(shù)的方法表達(dá)其方程呢? 首先需要建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而建立空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
　　過空間一個(gè)定點(diǎn)，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以點(diǎn)為原點(diǎn)，且具有相同的單位長度，這三條數(shù)軸分別稱為軸(橫軸)、軸(縱軸)和軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸．坐標(biāo)軸的正向要符合右手法則：即伸開右手，讓并攏的四指與大拇指垂直，并使四指先指向軸的正向，然后讓四指沿握拳的方向旋轉(zhuǎn)90°指向軸的正向，此時(shí)大拇指的指向即為軸的正向(見圖8.1.1)．這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系(一般將軸和軸放置在水平面上)，點(diǎn)叫作坐標(biāo)原點(diǎn)或原點(diǎn)．
　　在空間直角坐標(biāo)系中，每兩條坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面，稱為坐標(biāo)面．其中軸與軸確定的平面叫作坐標(biāo)面，類似地有坐標(biāo)面、坐標(biāo)面．三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限，含有軸、軸與軸正半軸的那個(gè)卦限稱為第Ⅰ卦限．在坐標(biāo)面的上方按逆時(shí)針方向依次為第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限．在坐標(biāo)面的下方，與第Ⅰ卦限對(duì)應(yīng)的是第Ⅴ卦限，其余第Ⅵ卦限至第Ⅷ卦限仍按逆時(shí)針方向順次確定(見圖8.1.2).
　　圖8.1.1　　　　　　　　　　　　　圖8.1.2
　　通過空間角坐標(biāo)系，我們可以建立空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
　　設(shè)為空間一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作垂直于軸、軸與軸的平面，它們與軸、軸和軸分別交于點(diǎn)、和(見圖8.1.3)．設(shè)這三個(gè)點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為、和，于是點(diǎn)就確定了唯一的一個(gè)有序數(shù)組；反過來，對(duì)于給定的有序數(shù)組，可分別在軸、軸與軸上找到點(diǎn)、和，使其坐標(biāo)分別為、和；過點(diǎn)，和分別作垂直于軸、軸與軸的平面，這三個(gè)平面必相交于空間唯一一點(diǎn)．這樣就建立了空間點(diǎn)和有序數(shù)組之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．將有序數(shù)組稱為點(diǎn)的坐標(biāo)，記作．、和依次稱為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)．
　　按照點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)定，位于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)面上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特征．在軸、軸及軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(, 0, 0)，(0, , 0)，(0, 0, )；在坐標(biāo)面、坐標(biāo)面及坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(,, 0) ，(0, , )，(, 0, )，原點(diǎn)的坐標(biāo)是(0, 0, 0)．
　　8.1.2 空間兩點(diǎn)間的距離
　　設(shè),為空間兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離為
　　證明 過點(diǎn)、各作三個(gè)分別垂直于三條坐標(biāo)軸的平面，則這六個(gè)平面圍成一個(gè)以、為對(duì)角線的長方體(見圖8.1.4)．由于和均為直角三角形，所以
　　==+
　　=++．
　　由于=，，，所以
　　．
　　特殊地，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為
　�。�
　　例8.1.1 已知點(diǎn)M(a, b, b)，P(9, 0, 0)，Q(-1, 0, 0)，且三點(diǎn)滿足| MP |2 = | MQ |2 = 33，試確定a，b的值．
　　解 由題意，有| MP |2 = | MQ |2，即(9 - a)2 + 2b2 = (-1- a)2 + 2b2，解得a = 4．
　　又因?yàn)閨 MP |2 = 33，即(9 - 4)2 + 2b2 = 33，解得b ==2．
　　8.1.3 向量及其表示
　　在物理學(xué)及其他學(xué)科領(lǐng)域，我們常見到兩類量：一類只有大小沒有方向，因此用一個(gè)數(shù)字就完全可以表示的量，如溫度、長度、質(zhì)量等，這類量稱為數(shù)量或標(biāo)量；還有一類量，它們既有大小又有方向，如力、速度、加速度等，這類量稱為向量或矢量．
　　在印刷體中，一般用黑斜體字母表示向量，如a，b，i，F(xiàn)等．有時(shí)為了書寫方便也用字母上方加箭頭的方法表示向量，如，，，等．幾何上，常用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的指向表示向量的方向，如起點(diǎn)為A、終點(diǎn)為B的向量記為，如圖8.1.5所示．