《泛函分析》是泛函分析入門教材，以Hilbert空間為主線進行講述。
《泛函分析》主要分成兩個部分，第一部分有三章，其中，第一章講Hilbert空間幾何結(jié)構(gòu)、正交投影定理、Riesz表示定理等，第二章講Hilbert空間上有界線性算子與譜的基礎知識，第三章專門深入講緊算子與兩擇一定理；第二部分也是三章。包括無界算子（閉算子、對稱算子、對稱算子的自伴延拓等），以及自伴算子譜分解和酉算子譜分解。第一部分是簡單的基本內(nèi)容，可以給數(shù)學系本科生或理工科研究生講。三個學分差不多可以講完；第二部分是Hilbert空間中深入的內(nèi)容，可以給數(shù)學系研究生講，也可根據(jù)其他有關(guān)課程需要選擇內(nèi)容進行教學。
在《泛函分析》編寫過程中。編者盡可能做到通俗化，注意講述無窮維空間問題和概念的聯(lián)系與區(qū)別，講述經(jīng)典分析方法在這里的作用，以便于讀者自學。
《泛函分析》可以作為數(shù)學系本科生和研究生教材。也可作為其他理工科研究生教材或參考書。
泛函分析是20世紀數(shù)學發(fā)展的一個重大進展，它的產(chǎn)生與發(fā)展來自數(shù)學和物理兩方面的推動，如位勢理論、積分方程、函數(shù)論、發(fā)散級數(shù)等。
19世紀末發(fā)展起來的積分方程理論引起了Hilbert的強烈興趣。1906年前后，Hilbert建立了積分方程所需要的無窮維空間結(jié)構(gòu)（包括內(nèi)積、正交基等）。他利用Fourier級數(shù)思想，把函數(shù)表示為序列，把積分方程看成無窮多方程的線性方程組，從而把線性代數(shù)有關(guān)理論推廣過來，為了紀念Hilbert的貢獻，后來人們把完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間，而Hilbert關(guān)于積分方程的工作也被不斷推廣。
Dieudonne指出：“如果要用幾個關(guān)鍵詞來概述泛函分析復雜的發(fā)展歷史，我認為應該是譜理論和對偶性這兩個概念，兩者都源于求解未知數(shù)函數(shù)的線性方程（或線性方程組）所遇到的具體問題�！弊V的概念的發(fā)展源于線性問題的適定性，因為無窮維空間中的線性問題的適定性與有限維有很大的不同，所以產(chǎn)生了譜的分類問題，對此，本書有較詳細的論述，而對偶性，其實就是“坐標系”思想，笛卡兒坐標系的引入是數(shù)學史上一個重大事件，它使得幾何問題能夠代數(shù)化。受此影響，人們將線性方程組放在線性空間框架下進行討論，線性問題得到很好的解決，這種方案就是將代數(shù)問題幾何化。Hilbert進行的有關(guān)工作就是將這一思想方法朝著無窮維推廣。線性問題要放到一個無窮維空間去討論，就會涉及“坐標化”的問題，其源頭是Fourier級數(shù)思想，三角函數(shù)系起的作用就相當于無窮維空間的笛卡兒坐標系，它發(fā)展成為Hilbert空間的規(guī)范正交基的概念。這種思想的進一步推廣就得到弱拓撲概念。
1932年，波蘭數(shù)學家Banach發(fā)表第一本泛函分析專著，標志著這一學科本身成為了一門成熟的數(shù)學分支，此后它在許多學科，如微分方程、概率論、量子理論、控制論信號處理等得到廣泛應用。同時，諸多學科的發(fā)展也推動著泛函分析本身的發(fā)展，近百年來，泛函分析已經(jīng)成為一個龐大的數(shù)學分支，并成為現(xiàn)代數(shù)學基礎。對于許多數(shù)學工作者和以數(shù)學作為工具的工程技術(shù)人員而言，泛函分析是他們必須掌握的知識。
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