在重點(diǎn)關(guān)注數(shù)據(jù)采集以及數(shù)據(jù)分析的領(lǐng)域，線性代數(shù)與矩陣方法越來(lái)越顯示出其重要性. 因此，這本書是為學(xué)習(xí)純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、數(shù)學(xué)生物學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、物理學(xué)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)生而寫的. 假設(shè)讀者學(xué)習(xí)過(guò)初級(jí)微積分系列課程以及線性代數(shù)第一教程.
本書值得注意的特點(diǎn)包括以下方面：
�r 系統(tǒng)地用到分塊矩陣.
�r 強(qiáng)調(diào)了矩陣以及矩陣分解.
�r 由于酉矩陣與可行且穩(wěn)定的算法相關(guān)，所以本書中強(qiáng)調(diào)了涉及酉矩陣的變換.
�r 貫穿全書有大量的例子.
�r 用圖形來(lái)說(shuō)明線性代數(shù)的幾何基礎(chǔ).
�r 以短小精練的章節(jié)涵蓋一學(xué)期課程的內(nèi)容.
�r 有許多章都包含了一些特殊的論題.
�r 每一章都包含一節(jié)問題（總共有600多個(gè)問題）.
�r 注記一節(jié)提供了有關(guān)額外信息來(lái)源的參考資料.
�r 每一章都總結(jié)了在該章中引進(jìn)的重要概念.
�r 本書中所用的符號(hào)都列在記號(hào)表中.
�r 有超過(guò)1700條索引幫助讀者確定概念與定義在書中出現(xiàn)的位置，這提高了本書作為參考資料的使用價(jià)值.
書中的矩陣與向量空間均相對(duì)于復(fù)數(shù)域而言. 使用復(fù)的向量使得對(duì)于特征值的研究更加便利，這也是與現(xiàn)代數(shù)值線性代數(shù)軟件相吻合的. 此外，它還與在物理學(xué)（量子力學(xué)中復(fù)的波函數(shù)與Hermite矩陣）、電氣工程（相位與振幅兩者都重要的電路與信號(hào)分析）、統(tǒng)計(jì)學(xué)（時(shí)間序列與特征函數(shù)）以及計(jì)算機(jī)科學(xué)（快速Fourier變換、迭代算法中的收斂矩陣以及量子計(jì)算）中的應(yīng)用密切相關(guān).
學(xué)生在使用這本書學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)，可以觀察并實(shí)際使用良好的數(shù)學(xué)交流技巧. 這些技巧包括：如何細(xì)心地陳述（以及閱讀）一個(gè)定理；如何選擇（以及利用）假設(shè)；怎樣用歸納法、反證法，或者通過(guò)證明逆否命題來(lái)證明一個(gè)命題；如何通過(guò)減弱假設(shè)或者加強(qiáng)結(jié)論來(lái)改進(jìn)一個(gè)定理；怎樣利用反例；如何對(duì)一個(gè)問題寫出有說(shuō)服力的解答.
線性代數(shù)應(yīng)用中的許多有用內(nèi)容都超出了線性變換以及相似性的范圍，所以它們不出現(xiàn)在采用算子方法的教材之中. 這些內(nèi)容包括：
�r Ger�実orin 定理
�r Householder 矩陣
�r QR分解
�r 分塊矩陣
�r 離散Fourier變換
�r 循環(huán)矩陣
�r 非負(fù)元素組成的矩陣（Markov矩陣）
�r 奇異值分解與緊致奇異值分解
�r 低秩逼近數(shù)據(jù)矩陣
�r 廣義逆（Moore�睵enrose逆）
�r 半正定矩陣
�r Hadamard（逐個(gè)元素的）乘積與Kronecker（張量）乘積
�r 矩陣范數(shù)
�r 最小平方解與極小范數(shù)解
�r 復(fù)對(duì)稱陣
�r 正規(guī)陣的慣性
�r 特征值交錯(cuò)與奇異值交錯(cuò)
�r 包含特征值、奇異值以及對(duì)角元素的不等式
這本書是按照如下方式組織的：
第0章復(fù)習(xí)初等線性代數(shù)的定義與結(jié)論.
第1章與第2章復(fù)習(xí)復(fù)的與實(shí)的向量空間，包括線性無(wú)關(guān)性、基、維數(shù)、秩以及線性變換的矩陣表示.
“第二教程”的內(nèi)容從第3章開始，它建立了貫穿本書使用的分塊矩陣范式.
第4章與第5章復(fù)習(xí)歐幾里得平面上的幾何，并利用它來(lái)派生出內(nèi)積空間和賦范線性空間的公理. 內(nèi)容包括正交向量、正交射影、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交化、Riesz表示定理、伴隨以及Fourier級(jí)數(shù)理論的應(yīng)用.
第6章引進(jìn)了酉矩陣，在本書其余部分的結(jié)構(gòu)中都要用到它. 在構(gòu)造QR分解時(shí)要用到Householder矩陣，而QR分解在許多數(shù)值算法中都要用到.
第7章討論正交射影、最佳逼近、線性方程組的最小平方（或極小范數(shù)）解，以及用QR分解來(lái)求解正規(guī)方程.
第8章介紹特征值、特征向量以及幾何重?cái)?shù). 我們要證明，n×n復(fù)矩陣有1到n個(gè)相異的特征值，并且要用Ger�実orin定理來(lái)確定復(fù)平面中包含它們的一個(gè)區(qū)域.
第9章處理特征多項(xiàng)式以及代數(shù)重?cái)?shù). 我們?yōu)閷?duì)角化建立了判別法，并定義了可對(duì)角化矩陣的初等矩陣函數(shù). 內(nèi)容包括Fibonacci數(shù)、AB與BA的特征值、換位子以及同時(shí)對(duì)角化.
第10章包括令人稱奇的Schur定理：每一個(gè)方陣都與一個(gè)上三角陣（具有一個(gè)和交換族有關(guān)的結(jié)果）酉相似. Schur定理用來(lái)證明每個(gè)方陣都被它的特征多項(xiàng)式零化. 受后面這個(gè)結(jié)果的啟發(fā)而產(chǎn)生了極小多項(xiàng)式這個(gè)概念以及對(duì)其性質(zhì)的研究. 這里還證明了關(guān)于線性矩陣方程的Sylvester定理，并用它來(lái)證明每個(gè)方陣都與一個(gè)具有單譜對(duì)角分塊的分塊對(duì)角矩陣相似.
第11章建立在上一章的基礎(chǔ)之上，它要證明每個(gè)方陣都相似于一個(gè)特殊的分塊對(duì)角的上雙對(duì)角矩陣（它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型），這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型除了其中直和項(xiàng)的排列次序之外是唯一的. Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用包括線性微分方程組的初值問題、AB與BA的Jordan構(gòu)造的分析、收斂矩陣與冪有界矩陣的特征刻畫，以及元素為正的Markov矩陣的一個(gè)極限定理.
第12章討論正規(guī)矩陣，即與其共軛轉(zhuǎn)置可交換的矩陣. 譜定理說(shuō)的是：矩陣是正規(guī)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它可以酉對(duì)角化.已知這一結(jié)論的其他多個(gè)等價(jià)的表述. Hermite矩陣、斜Hermite矩陣、酉矩陣、實(shí)正交陣、實(shí)對(duì)稱陣以及循環(huán)矩陣都是正規(guī)矩陣.
半正定陣是第13章的討論對(duì)象. 這種矩陣是在統(tǒng)計(jì)學(xué)（相關(guān)矩陣以及正規(guī)方程）、力學(xué)（振動(dòng)系統(tǒng)中的動(dòng)能與勢(shì)能）以及幾何學(xué)（橢球體）中出現(xiàn)的. 內(nèi)容包括平方根函數(shù)、Cholesky分解以及Hadamard乘積與Kronecker乘積.
第14章主要是奇異值分解，它是統(tǒng)計(jì)學(xué)、控制論、逼近論、圖像壓縮以及數(shù)據(jù)分析中許多現(xiàn)代數(shù)值算法的核心. 內(nèi)容包括緊致奇異值分解與極分解，并特別關(guān)注這些分解的唯一性問題.
在第15章里，用奇異值分解來(lái)壓縮圖像或者壓縮數(shù)據(jù)矩陣. 這一章里討論的奇異值分解的其他應(yīng)用有矩陣的廣義逆（Moore�睵enrose逆）、奇異值與特征值之間的不等式、矩陣的譜范數(shù)、復(fù)對(duì)稱矩陣以及冪等矩陣.
第16章研究加邊的或者遵從一個(gè)附加攝動(dòng)的Hermite矩陣的特征值交錯(cuò)現(xiàn)象. 相關(guān)的討論包括奇異值的交錯(cuò)定理、正定性的行列式判別法以及刻畫Hermite矩陣的特征值和對(duì)角元素的不等式. 我們要證明關(guān)于Hermite矩陣的Sylvester慣性定理以及關(guān)于正規(guī)矩陣的一個(gè)推廣的慣性定理.
在前言后面有一個(gè)記號(hào)一覽表. 在第16章后面有復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)資料以及一系列參考文獻(xiàn). 本書末尾附有詳細(xì)的索引.
封面（指英文原書）圖片是2002年紐約的一位藝術(shù)家Lun�瞃i Tsai所繪的一幅名為《又是夏天》的畫，這位畫家的工作常常受到數(shù)學(xué)題材的啟發(fā).
感謝Zachary Glassman做了許多圖表，并回答了我們關(guān)于LaTex的問題.
感謝Dennis Merino、Russ Merris以及Zhongshan Li，他們仔細(xì)閱讀了本書的初稿.
感謝2014年與2015年秋季參加第一作者在Pomona學(xué)院舉辦的高等線性代數(shù)課程的學(xué)生. 特別要感謝Ahmed Al Fares、Andreas Biekert、Andi Chen、Wanning Chen、Alex Cloud、Bill DeRose、Jacob Fiksel、Logan Gilbert、Sheridan Grant、Adam He、David Khatami、Cheng Wai Koo、Bo Li、Shiyue Li、Samantha Morrison、Nathanael Roy、Michael Someck、Sallie Walecka以及Wentao Yuan，他們指出了本書初稿中的若干錯(cuò)誤.
還要特別感謝Ciaran Evans、Elizabeth Sarapata、Adam Starr以及Adam Waterbury對(duì)本書極其認(rèn)真的審校.

S. R. G
R. A. H