沒有微積分，我們就不會(huì)擁有手機(jī)、計(jì)算機(jī)和微波爐，也不會(huì)擁有收音機(jī)、電視、為孕婦做的超聲檢查，以及為迷路的旅行者導(dǎo)航的GPS（定位）。我們更無法分裂原子、破解人類基因組或者將宇航員送上月球，甚至有可能無緣于《獨(dú)立宣言》。

有一種罕見而有趣的歷史觀點(diǎn)認(rèn)為，世界被一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)分支徹底改變了。一個(gè)初與形狀相關(guān)的理論，終又如何重塑了文明？

我們可以從物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼的一句妙語中洞見這個(gè)問題的答案，這句話是他在與小說家赫爾曼·沃克討論曼哈頓計(jì)劃時(shí)說的。當(dāng)時(shí)沃克正在為他計(jì)劃寫作的一部關(guān)于“二戰(zhàn)”的長(zhǎng)篇小說做調(diào)研，他去加州理工學(xué)院采訪了參與過原研發(fā)的物理學(xué)家，費(fèi)曼就是其中之一。采訪結(jié)束臨別之際，費(fèi)曼問沃克是否了解微積分。沃克坦承他并不了解，于是費(fèi)曼說道：“你好學(xué)學(xué)微積分，它是上帝的語言。”

宇宙是高度數(shù)學(xué)化的，但原因尚無人知曉。這或許是包含我們?cè)趦?nèi)的宇宙的可行的存在方式，因?yàn)榉菙?shù)學(xué)化的宇宙無法庇護(hù)能夠提出這個(gè)問題的智慧生命。無論如何，一個(gè)神秘且不可思議的事實(shí)是，我們的宇宙遵循的自然律終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達(dá)出來。這類方程能描述某個(gè)事物在這一刻和在下一刻之間的差異，或者某個(gè)事物在這一點(diǎn)和在與該點(diǎn)無限接近的下一個(gè)點(diǎn)之間的差異。盡管細(xì)節(jié)會(huì)隨著我們探討的具體內(nèi)容而有所不同，但自然律的結(jié)構(gòu)總是相同的。這個(gè)令人驚嘆的說法也可以表述為，似乎存在著某種類似宇宙密碼的東西，即一個(gè)能讓萬物時(shí)時(shí)處處不斷變化的操作。微積分利用了這種規(guī)則，并將其表述出來。

艾薩克·牛頓是早瞥見這一宇宙奧秘的人。他發(fā)現(xiàn)行星的軌道、潮汐的韻律和炮彈的彈道都可以用一組微分方程來描述、解釋和預(yù)測(cè)。如今，我們把這些方程稱為牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律。自牛頓以來，每當(dāng)有新的宇宙奧秘被揭開，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)同樣的模式一直有效。從古老的土、空氣、火和水元素到新近的電子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有無生命的東西都遵從微分方程的規(guī)則。我敢打賭，這就是費(fèi)曼說“微積分是上帝的語言”時(shí)想要表達(dá)的意思。如果有什么東西稱得上宇宙的奧秘，那么非微積分莫屬。

人類在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)了這種奇怪的語言（先是在幾何學(xué)的隱秘角落里，后來是在宇宙密碼中），然后學(xué)會(huì)熟練地運(yùn)用它，并破譯了它的習(xí)語和微妙之處，終利用它的預(yù)測(cè)能力去重構(gòu)世界。

這是本書的中心論點(diǎn)。

如果這個(gè)論點(diǎn)是正確的，那么它意味著關(guān)于生命、宇宙和萬物的問題的答案并不是42，為此我要向道格拉斯·亞當(dāng)斯和《銀河系漫游指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫游指南》中的一臺(tái)計(jì)算機(jī)）的解題思路是正確的，因?yàn)橛钪娴膴W秘確實(shí)是一系列數(shù)學(xué)問題。

費(fèi)曼的那句“微積分是上帝的語言”的妙語，引出了許多深?yuàn)W的問題。什么是微積分？人類如何斷定它是上帝的語言（或者說，宇宙基于這種語言在運(yùn)轉(zhuǎn)）？什么是微分方程？在牛頓的時(shí)代和我們的時(shí)代，微分方程為世界帶來了什么？后，這些故事和觀點(diǎn)如何能被有趣且清楚易懂地傳達(dá)給像赫爾曼·沃克那樣的友善讀者呢，他們勤于思考、充滿好奇心、知識(shí)淵博但幾乎沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)？

沃克在他與費(fèi)曼邂逅故事的結(jié)尾部分寫道，他在14 年里始終沒有抽出時(shí)間學(xué)習(xí)微積分。他的關(guān)于“二戰(zhàn)”的長(zhǎng)篇小說從原計(jì)劃的一部變成了兩部——《戰(zhàn)爭(zhēng)風(fēng)云》和《戰(zhàn)爭(zhēng)與回憶》，每部都長(zhǎng)達(dá)1 000 頁左右。在完成這兩部小說后，他試圖通過閱讀像《微積分一點(diǎn)通》這樣的書自學(xué)微積分，但效果并不好。他翻閱了幾本教科書，用他自己的話說，就是希望“遇到一本合適的書，它可以幫助像我這樣對(duì)數(shù)學(xué)幾乎一竅不通

的人。我在青少年時(shí)期產(chǎn)生了探尋存在之意義的渴求，大學(xué)期間就只學(xué)習(xí)了文學(xué)與哲學(xué)等人文學(xué)科，所以我并不知道別人口中艱澀、無趣、毫無用處的微積分竟然是上帝的語言”。在發(fā)現(xiàn)自己看不懂教科書之后，他聘請(qǐng)了一位以色列的數(shù)學(xué)家教，希望能跟著他學(xué)點(diǎn)兒微積分，順便提升一下希伯來語口語水平，但這兩個(gè)愿望都落空了。后，絕望的他旁聽了高中的微積分課程，但因?yàn)檫M(jìn)度落后太多，幾個(gè)月后他不得不放棄。在他走出教室時(shí)，孩子們一起為他鼓掌，他說這就像對(duì)一場(chǎng)可憐的表演報(bào)以同情的掌聲。

我之所以寫作本書，就是為了讓每個(gè)人都能了解關(guān)于微積分的精彩的思想和故事。我們沒必要采用赫爾曼·沃克的方法去學(xué)習(xí)人類歷史上這個(gè)具有里程碑意義的學(xué)科，盡管微積分是人類具啟迪性的集體成就之一。我們不必為了理解微積分的重要性而學(xué)習(xí)如何做運(yùn)算，就像我們不必為了享用美食而學(xué)習(xí)如何做佳肴一樣。我將借助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋我們需要了解的。我也會(huì)給你們介紹有史以來

精致的一些方程和證明，就像我們?cè)趨⒂^畫廊的時(shí)候不會(huì)錯(cuò)過其中的代表作一樣。至于赫爾曼·沃克，在我寫作本書的時(shí)候，他已經(jīng)103 歲了。我不知道他有沒有學(xué)會(huì)微積分，如果還沒有，這本書就很適合沃克先生。

現(xiàn)在你應(yīng)該很清楚，我將從應(yīng)用數(shù)學(xué)家的角度講述微積分的故事和重要性。而數(shù)學(xué)史家則會(huì)選擇不同的角度，純粹數(shù)學(xué)家亦然。作為一名應(yīng)用數(shù)學(xué)家，真正吸引我的是我們周圍的現(xiàn)實(shí)世界和我們頭腦中的理想世界之間的相互作用。外界的現(xiàn)象引導(dǎo)著我們提出數(shù)學(xué)問題；反過來，我們的數(shù)學(xué)想象有時(shí)也會(huì)預(yù)言現(xiàn)實(shí)世界中的事情。當(dāng)這真正發(fā)生時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生不可思議的效果。

要想成為一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，既要有外向型思維，又要有廣博的知識(shí)。對(duì)我們這個(gè)領(lǐng)域的人來說，數(shù)學(xué)并不是一個(gè)由自我附和的定理和證明構(gòu)成的原始、封閉的世界。7 我們會(huì)欣然接受各種各樣的學(xué)科：哲學(xué)，政治學(xué)，科學(xué)，歷史，醫(yī)學(xué)，等等。所以，我想給大家講述的故事是：由微積分主宰的世界。

這是一種比以往更寬泛的微積分觀，包含了數(shù)學(xué)和相鄰學(xué)科中的許多分支，它們要么是微積分的“表兄弟”，要么是微積分的“副產(chǎn)品”。因?yàn)檫@種“大帳篷”觀是非常規(guī)的，所以我要確保它不會(huì)造成任何混淆。比如，我在前文中說過，如果沒有微積分，我們就不會(huì)擁有電腦和手機(jī)等，我的意思當(dāng)然不是說微積分本身創(chuàng)造了所有這些奇跡。事實(shí)遠(yuǎn)非如此，科學(xué)和技術(shù)是必不可少的搭檔，或者可以說是這出大戲的主角。我只想說，盡管微積分往往扮演的是配角，但也為塑造我們的世界做出了重要貢獻(xiàn)。

以無線通信的發(fā)展史為例。它開始于邁克爾·法拉第和安德烈·瑪那些關(guān)于磁體、電流及其不可見力場(chǎng)的重要事實(shí)將仍不為人所知，無線通信的可能性也永遠(yuǎn)無法實(shí)現(xiàn)。所以，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)在這里顯然起到了不可或缺的作用。

但是，微積分同樣很重要。19 世紀(jì)60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數(shù)學(xué)物理學(xué)家，將電磁場(chǎng)的基本實(shí)驗(yàn)定律改寫為一種可進(jìn)行微積分運(yùn)算的符號(hào)形式。經(jīng)過一番變換，他得到了一個(gè)毫無意義的方程，顯然有某種東西缺失了。麥克斯韋懷疑安培定律是罪魁禍?zhǔn)�，并嘗試修正它，于是他在自己的方程中加入了一個(gè)新項(xiàng)——可以化解矛盾的假想電流，然后又利用微積分做了一番運(yùn)算。這次他得到了一個(gè)合理的結(jié)果——一個(gè)簡(jiǎn)潔的波動(dòng)方程9，它與描述池塘中漣漪擴(kuò)散的方程很像。只不過麥克斯韋方程還預(yù)言了一種新波的存在，這種波是由相互作用的電場(chǎng)和磁場(chǎng)產(chǎn)生的。一個(gè)變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)變化的磁場(chǎng)，一個(gè)變化的磁場(chǎng)又會(huì)產(chǎn)生一個(gè)變化的電場(chǎng)，以此類推，每個(gè)場(chǎng)都會(huì)引導(dǎo)另一個(gè)場(chǎng)向前運(yùn)動(dòng)，一起以行波的形式向外傳遞能量。當(dāng)麥克斯韋計(jì)算這種波的速度時(shí)，他發(fā)現(xiàn)它是以光速運(yùn)動(dòng)的，這是歷史上令人的時(shí)刻之一。因此，他不僅利用微積分預(yù)測(cè)出電磁波的存在，還解開了一個(gè)古老的謎題：光的性質(zhì)是什么？他意識(shí)到，光就是一種電磁波。

麥克斯韋的電磁波預(yù)測(cè)促使海因里�！ず掌澰�1887 年做了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，從而證明了電磁波的存在。10 年后，尼古拉·特斯拉建造了個(gè)無線電通信；又過了5 年，伽利爾摩·馬可尼發(fā)送了份跨越大西洋的無線電報(bào)。接下來，電視、手機(jī)和其他設(shè)備也陸續(xù)出現(xiàn)了。

顯然，微積分不可能獨(dú)立做到這。但同樣顯而易見的是，如果沒有微積分，這就不會(huì)發(fā)生。或者更準(zhǔn)確地說，即時(shí)有可能，也要很久之后才會(huì)實(shí)現(xiàn)。