《從空間曲線到高斯-博內(nèi)定理》共分四個部分,十個章節(jié),是論述空間曲線和曲面理論的一本入門讀物。
第一部分闡明了本書使用的數(shù)學(xué)工具:向量的代數(shù)運算以及變向量的求導(dǎo)運算。第二部分討論了曲線的基本概念,引入了弧長參數(shù),也討論了描述空間曲線變化的曲率與撓率這兩個幾何量。最后，證明了弗雷內(nèi)-塞雷公式,并以此證明了曲線的基本定理:曲線的形狀是由它的曲率與撓率決定的。第三部分主要討論的是曲面上的三個基本形式以及曲面上的一些曲率。同時也討論了曲面上的一些方程式,引入了黎曼曲率張量,并以此證明了高斯的“最了不起定理”。
第四部分討論了曲面上的測地線,測地方程,以及歐拉公式,羅德里格斯公式,與恩尼珀定理等。在本書的最后一章——第十章中,證明了計算測地曲率的劉維爾公式,并用它證明了閉曲面的高斯-博內(nèi)定理。據(jù)此,引入閉曲面的歐拉示性數(shù),證明它是一個拓?fù)洳蛔兞俊?