前言

本書分為兩部分，部分研究整體和非限制實(shí)施下經(jīng)理期權(quán)（又稱經(jīng)理股票期權(quán)，簡(jiǎn)稱為ESOs）的實(shí)施策略，第二部分探討脆弱期權(quán)的定價(jià)問題.部分主要研究與金融市場(chǎng)上的ESOs的實(shí)施策略有關(guān)的一個(gè)拋物型變分不等式的定解問題.ESOs是公司作為酬金發(fā)給經(jīng)理或員工的一種美式看漲期權(quán).自20世紀(jì)80年代中期以來，ESOs已成為美國(guó)和其他國(guó)家高管薪酬的重要組成部分.ESOs可看作為公司從經(jīng)理或員工那里買到服務(wù)而支付的成本，由于ESOs的發(fā)行數(shù)量之多，其對(duì)應(yīng)的公司發(fā)行成本也很可觀，為了給出ESOs的合理價(jià)值，需要理性預(yù)測(cè)經(jīng)理人未來的實(shí)施策略，由于公司高管是不能賣空公司股票的（非法的），因此經(jīng)理人不能構(gòu)造由公司股票、ESOs和無風(fēng)險(xiǎn)債券組成的組合來對(duì)沖ESOs的風(fēng)險(xiǎn)，事實(shí)上，這是一個(gè)不市場(chǎng)，這就使得無套利定價(jià)方法不能用來對(duì)ESOsESOs和非限制實(shí)施ESOs.整體實(shí)施是指，經(jīng)理人要么不實(shí)施其持有的ESOs，要么一次性實(shí)施其持有的全部ESOs.而在非限制實(shí)施情況下，經(jīng)理人在任意可實(shí)施時(shí)刻可以實(shí)施其持有的任意份ESOs.首先，我們采用經(jīng)理人的財(cái)富效用化方法來研究整體實(shí)施情況下的一個(gè)ESOs定價(jià)模型，這是一個(gè)帶效用函數(shù)的美式看漲期權(quán)的自由邊界問題，其值函數(shù)和實(shí)施策略不僅與股價(jià)有關(guān)，而且還與ESOs的數(shù)量有關(guān).其值函數(shù)是一個(gè)退化的拋物型變分不等式的定解問題的解，對(duì)于整體實(shí)施情況下的ESOs問題，目前已有許多學(xué)行了研究，但大多數(shù)研究均是基于定性分析或數(shù)值計(jì)算，沒有嚴(yán)格的理論結(jié)果，Kadam等[i]雖然在基于效用的模型中給出了ESOs價(jià)值的解析解，但他們只考慮一份ESOs，相應(yīng)的值函數(shù)只與股價(jià)有關(guān).因?yàn)樾в煤瘮?shù)是非線性函數(shù)，經(jīng)理人所持有的ESOs價(jià)值不是ESOs數(shù)目的線性函數(shù)，因此，假設(shè)經(jīng)理人只持有一份ESOs是不合理的，筆者用財(cái)富效用化方法對(duì)整體實(shí)施情況下的ESOs問題建立了一個(gè)停時(shí)模型，其值函數(shù)是ESOs數(shù)目和股價(jià)的函數(shù)，利用停時(shí)理論，筆者導(dǎo)出值函數(shù)滿足一個(gè)退化的拋物型變分不等式的定解問題，然后通過切片法，即對(duì)變量r（ESOs數(shù)目與風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的乘積）高散化的方法來研究該拋物型變分不等式的定解問題，得出了解的存在性、性和正則性，證明了自由邊界（實(shí)施邊界）的連續(xù)性、單調(diào)性和有關(guān)極限形態(tài).其次，筆者研究非限制實(shí)施情況下的ESOs模型，Rogers和Scheinkman[(9]通過經(jīng)理人的財(cái)富效用化方法，對(duì)非限制實(shí)施情況下的具有有限到期日目的ESOs問題，建立了一個(gè)隨機(jī)控制模型，并獲得了相應(yīng)的拋物型變分不等式的定解問題，但他們對(duì)該定解問題沒有給出嚴(yán)格的理論研究，只是通過數(shù)值分析給出經(jīng)理人的實(shí)施策略及相應(yīng)的一些性質(zhì)，筆者在Rogers和Scheinkman[49]的模型的基礎(chǔ)上，研究相應(yīng)的ESOs模型.通過隨機(jī)控制理論，得到其值函數(shù)滿足一個(gè)退化拋物型變分不等式的定解問題.由于該變分不等式的障礙條件里含有值函數(shù)關(guān)于變量r（ESOs數(shù)目與風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的乘積）的偏導(dǎo)數(shù)，這使得對(duì)該變分不等式定解問題的理論研究有很大難度.筆者仍通過切片法來研究該問題，證明了解的存在性、正則性、性，以及解的其他一些性質(zhì).再次，筆者研究先取效用再貼現(xiàn)的ESOs模型，證明了在這種情形下非限制實(shí)施等價(jià)于整體實(shí)施.地，當(dāng)效用函數(shù)取為U（y）=y（即不帶效用函數(shù)）時(shí)，非限制實(shí)施必等價(jià)于整體實(shí)施，后，筆者還對(duì)兩種實(shí)施情行數(shù)值分析，通過偏微分方程數(shù)值解法對(duì)經(jīng)理人的實(shí)施邊行分析和比較.第二部分的主要目的就是介紹違約風(fēng)險(xiǎn)建模的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，一步研究違約風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣及其在脆弱期權(quán)定價(jià)上的應(yīng)用.雖然大量的論文利用隨機(jī)時(shí)間研究違約風(fēng)險(xiǎn)，但是大多未討論其理論基礎(chǔ)，因而先討論其理論背景就顯得很有必要.脆弱期權(quán)即是帶有對(duì)手違約風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)，它具有雙重風(fēng)險(xiǎn)：市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)和違約風(fēng)險(xiǎn).對(duì)違約建模主要有兩種方法，早的是公司價(jià)值模型（firm value model）：當(dāng)企業(yè)價(jià)值低于其債額時(shí)違約發(fā)生；之后蓬勃興起的是強(qiáng)度模型（intensity model）：用一個(gè)外生的隨機(jī)過程[一般為泊松過程（Possionprocess）]來描述違約過程，其中泊松過程的強(qiáng)度入即為違約強(qiáng)度，入可以是常數(shù)、時(shí)間的函數(shù)或隨機(jī)變量強(qiáng)度模型假定違約強(qiáng)度與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、企業(yè)價(jià)值不相關(guān)，但在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)社會(huì)中，違約強(qiáng)度（即單位時(shí)間內(nèi)違約發(fā)生的概率）λ與它們有緊密的聯(lián)系，同時(shí)違約強(qiáng)度】在實(shí)際中不太可能是確定的，也不會(huì)任意變動(dòng)，而是會(huì)圍繞其均值上下波動(dòng)，即入會(huì)遵循均值回復(fù)過程.因而筆者對(duì)目前帶有違約風(fēng)險(xiǎn)的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模行研究和推廣：用強(qiáng)度遵從均值回復(fù)過程的重隨機(jī)的泊松過程來描述違約過程并且采用公司價(jià)值模型的補(bǔ)償率；在假定違約強(qiáng)度過程與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、企業(yè)價(jià)值的擴(kuò)散過程兩兩相關(guān)的情形下，采用等價(jià)鞅測(cè)度變換方法和建模的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)出脆弱歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式。本書的研究成果得到國(guó)家自然科學(xué)基金（11471175；11001142）、福建省自然科學(xué)基金（2015J05012；2019J01807）、福建省教育廳項(xiàng)目（JA11208：JAT160430）等的資助，要感滯莆田學(xué)院出版基金對(duì)本書出版的資助。

202pan style="font-family:宋體">年7月