目錄
第1章 廣義函數(shù)論 l
1.1 度量空間 1
1.1.1 度量空間的定義 1
1.1.2 壓縮映射原理 3
1.2 Hilbert空間 6
1.2.1 內積 6
1.2.2 Hilbert空間 8
1.3 線性算子 12
1.3.1 線性算子的連續(xù)性與有界性 12
1.3.2 本征值與本征函數(shù) 14
1.4 廣義函數(shù) 18
1.4.1 基本函數(shù)空間 18
1.4.2 廣義函數(shù) 20
1.4.3 廣義函數(shù)基本運算 22
第2章 積分變換 26
2.1 復變函數(shù)的積分與留數(shù)定理 26
2.1.1 復變函數(shù)的積分 26
2.1.2 留數(shù)定理 34
2.2 Fourier變換 43
2.2.1 基本函數(shù)空間上的Fourier變換 44
2.2.2 廣義函數(shù)的Fourier變換 50
2.3 Laplace變換 52
2.3.1 定義及其性質 52
2.3.2 Laplace變換的逆變換 56
第3章 二階常微分方程的冪級數(shù)解 62
3.1 二階線性常微分方程的基本理論 62
3.1.1 二階常系數(shù)線性方程的通解結構 62
3.1.2 二階變系數(shù)的常微分方程 63
3.2 二階常微分方程常點附近的冪級數(shù)解 69
3.2.1 冪級數(shù)解的存在唯一性 69
3.2.2 Hermite多項式與Legendre多項式 72
3.3 正則奇點附近的冪級數(shù)解 78
3.3.1 一級極點附近的冪級數(shù)解 78
3.3.2 正則奇點附近的冪級數(shù)解 80
3.3.3 Bessel函數(shù) 84
第4章 穩(wěn)態(tài)問題的解析方法 91
4.1 位勢方程 91
4.1.1 位勢方程的基本解 92
4.1.2 Green函數(shù)方法 95
4.1.3 調和函數(shù)的性質 103
4.2 變分法 108
4.2.1 無約束泛函極值 111
4.2.2 約束的泛函極值 118
第5章 演化方程的解析方法 124
5.1 熱傳導方程的解析方法 124
5.1.1 熱傳導方程Cauchy問題的基本解 125
5.1.2 初邊值問題的分離變量法 129
5.1.3 熱傳導方程的性質 135
5.2 波動方程的解析方法 139
5.2.1 波動方程的Cauchy問題的基本解 140
5.2.2 波動方程的初邊值問題 149
5.2.3 波動方程的性質 155
第6章 曲線坐標系中的分離變量法 160
6.1 流形上的微分算子 160
6.1.1 微分流形 160
6.1.2 Riemann度量 166
6.1.3 流形上的微分算子 168
6.1.4 正交曲線坐標系中的Laplace-Beltrami算子 173
6.2 正交曲線坐標系中的分離變量法 175
6.2.1 球坐標系中的分離變量 176
6.2.2 柱坐標系中的分離變量 181
參考文獻 188
索引 189