目 錄
前言
第1講 數(shù)域上的多項式，（并涉及由其定義的）多項式函數(shù)1
1.1關(guān)于不可約多項式的一個基本事實與若干特殊的不可約多項式1
1.1.1基本事實1
1.1.2 -類特殊的不可約多項式2
1.1.3另一類特殊的不可約多項式3
1.1.4矩陣的最小多項式3
1.2非負多項式的一個特征9
1.3關(guān)于多項式的Fermat大定理的一個初等證明10
1.3.1關(guān)于整數(shù)的Fermat大定理11
1.3.2關(guān)于多項式的Fermat大定理l2
1.4關(guān)于一元多項式的若干注記l5
1.4.1帶余除法l6
1.4.2余數(shù)定理的幾種證明方法l6
1.4.3零點一因子定理及其應用17
1.4.4多項式的最大（小）公因（倍）式20
1.5對稱與初等對稱多元多項式2l
1. 5.1多元多項式21
1.5.2對稱和初等對稱多項式24
習題128
第2講線性相關(guān)性（線性代數(shù)的核心概念）29
2.1涉及線性相關(guān)性的幾組基本事實29
2.2替換定理及其等價刻畫33
2.3涉及線性變換(線性映射)的線性相關(guān)性38
2.4涉及內(nèi)積的（即Euclid空間里的）線性相關(guān)性47
2.5關(guān)于矩陣秩概念的開發(fā)(I)5l
2.6從向量組的線性相關(guān)性到子空間組的線性相關(guān)性（詳見第4講）55
習題2255
第3講 關(guān)于線性空間和線性變換的其他基本事項（聯(lián)系更一般的模和模同態(tài)概念）57
3.1模(線性空間)公理間的獨立性及其他57
3.1.1模公理間的獨立性57
3.1.2模的Abel群64
3.1.3線性空間上的線性變換65
3.2線性空間關(guān)于線性變換的不變子空間67
3.3 n維線性空間中n-無關(guān)無限子集的若干特征及其存在性7l
3.4 n變數(shù)可逆線性齊次代換的兩種幾何解釋及其聯(lián)系75
3.4.1解釋為域F上n維線性空間上的線性變換75
3.4.2 A可逆時，式(3.5)又可解釋為域F上n,維線性空間上的坐標變換76
3.4.3 A可逆時，式(3.5)的上兩種解釋的聯(lián)系76
3.5線性映射（函數(shù)）與其表示矩陣（向量）(“矩陣秩概念的開發(fā)(II)”，用線性函數(shù)給出3.3節(jié)的一個補充）77
3.5.1線性映射與其表示矩陣77
3.5.2矩陣秩概念的開發(fā)(ll)82
3.5.3用線性函數(shù)給出3.3節(jié)的一個補充82
3.6對偶空間與“矩陣秩概念的開發(fā)(III)”84
3.6.1對偶空間與對偶基底84
3.6.2對偶線性映射與矩陣秩概念的開發(fā)(III)86
3.6.3空間與其對偶空間的對偶性89
3.6.4線性空間與其對偶空間的聯(lián)系93
3.7對稱雙線性度量空間與線性方程組可解的幾何解釋97
3.8 Euclid空間與線性方程組的最小二乘法104
3.8.1 Euclid空間的基本概念和基本事實105
3.8.2向量到子空間的距離與線性方程組的最小二乘法111
3.9具有對角形表示矩陣的線性變換116
3.10多重線性函數(shù)和行列式的（一種）公理化定義125
3.10.1 d-行列式的定義及性質(zhì)125
3.10.2 d-行列式恰為通常的行列式127
3.10.3 d-行列式（作為行列式的公理化定義）的直接應用128
3.11多重線性函數(shù)和Binet-Cauchy公式130
3.12若干例題134
習題3146
第4講 線性空間的直和分解（模的特殊情形）148
4.1線性空間的（內(nèi)）直和與外直和148
4.1.1線性空間的（內(nèi)1直和與外直和l48
4.1.2用直和給出3.3節(jié)的另外兩個補充157
4.2線性空間涉及線性變換的若干直和結(jié)構(gòu)158
4.2.1線性空間涉及線性變換的一類直和分解158
4.2.2線性空間涉及線性變換的其他直和結(jié)構(gòu)161
習題4164
第5講 初等變換，初等矩陣與矩陣的等價標準形的應用開發(fā)，166
5.1基本概念和基本事實的羅列166
5.2應用1，初等變換的若干應用168
5.2.1初等變換在求多項式的最大公因式和最小公倍式中的應用168
5.2.2初等變換在線性方程組的通解公式建立中的應用173
5.2.3初等變換在求標準正交基底中的應用177
5.3應用2，等價標準形的若干應用183
5.4應用3，初等矩陣在行列式的（另一種）公理化定義中的應用187
5.5應用4，初等矩陣在由行列式歸納法定義導出行列式性質(zhì)中的應用190
5.6矩陣的廣義逆與線性方程組的可解性和通解表達196
習題5199
第6講 矩陣分塊運算的應用開發(fā)200
6.1矩陣的分塊運算（含分塊矩陣乘法法則的一種處理）200
6 .1.1分塊矩陣的概念200
6.1.2矩陣的分塊運算202
6.2應用1，矩陣乘法的結(jié)合律和Cramer法則的證明204
6.2.1矩陣乘法的結(jié)合律的證明204
6.2.2 Cramer法則的證明205
6.3應用2，Cayley-Hamilton定理的一個簡化證明207
6.4應用3，關(guān)于矩陣秩概念的開發(fā)(Ⅳ)210
6.5應用4，其他例題211
習題6214
第7講 自然數(shù)集與數(shù)學歸納法216
7.1自然數(shù)集的Peano公理216
7.2關(guān)于“自然數(shù)集”的一個可供使用的“樸素理論”224
7.3數(shù)學歸納法用于“證明”225
7.4數(shù)學歸納法用于“構(gòu)作”234
7.5數(shù)學歸納法用于“定義”和“思考”237
7.6集合上的偏序關(guān)系與Zorn引理238
習題7242
第8講 非Klein意義上的“高觀點下的初等數(shù)學”244
8.1對數(shù)的換底公式與分數(shù)的約分公式244
8.2根在復平面“單位圓f虛軸1”上的實不可約多項式在一般域上的推廣246
8.3 Fibonacci數(shù)列的通項公式247
8.4 mn=（m，喲[m，叫254
8.5 Newton二項公式254
8.6關(guān)于組合數(shù)的矩陣方法255
8.7初等幾何的若干等式和不等式258
8.8若干高等數(shù)學事實的證明到初等數(shù)學已知事實的歸結(jié)258
習題8259
參考文獻260
索引262