矩陣?yán)碚撌且婚T理論上高度抽象、又極具應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。 它不僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,而且已成為現(xiàn)代各種科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,如自 動(dòng)化與人工智能、計(jì)算機(jī)科學(xué)、力學(xué)與機(jī)械工程、管理科學(xué)與工程等處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)工具。因此,學(xué)習(xí)和掌握矩陣的基本理論和方法,對(duì)工科研究生是必不可少的。

本書的主要內(nèi)容作為北京航空航天大學(xué)工科研究生的基礎(chǔ)理論核心課程“矩陣?yán)碚摗币阎v授多年。該課程在講授過程中,無論授課對(duì)象如何, 課程設(shè)置和講授內(nèi)容基本保持不變,因此具有極強(qiáng)的“魯棒性”。編者于2017年起獨(dú)立承擔(dān)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院的“矩陣?yán)碚摗闭n程的教學(xué),經(jīng)過六輪次的課程探索與實(shí)踐,對(duì)課程內(nèi)容作了精心安排,并加入了諸多面向信息類專業(yè)的應(yīng)用案例,深受廣大學(xué)生喜愛。在編寫本書的過程中,編者力求使其內(nèi)容既具有一定的理論體系和理論深度,又注重深入淺出、簡(jiǎn)潔易懂,對(duì)大量較為抽象的概念賦予簡(jiǎn)明的幾何意義或具體實(shí)例,幫助學(xué)生理解并掌握矩陣相關(guān)的基本概念、理論和方法,實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與思維、應(yīng)用與創(chuàng)新能力的目的。

本書共分5章,比較全面、系統(tǒng)地介紹了矩陣的基本理論、方法和典應(yīng)用。第1章線性代數(shù)引論是本書的基礎(chǔ)理論,主要介紹線性空間與內(nèi)積空間。第2章線性映射與矩陣是本書的理論核心,闡釋了矩陣是有限維線性空間的線性變換的一種表達(dá)形式,并賦予矩陣以幾何直觀,使得在線性代數(shù)課程中難以理解的諸多疑問,如相似矩陣具有相同的特征值、矩陣乘法往往不可以交換等豁然開朗。第3章矩陣分解是應(yīng)用最廣的矩陣?yán)碚摵头椒?主要介紹廣泛應(yīng)用的滿秩分解、三角分解、QR 分解、Schur 分解、譜分解和奇異值分解;此外,還介紹了相抵分解、對(duì)角化分解和Jor- dan分解問題,這些內(nèi)容是矩陣?yán)碚撗芯俊⒕仃囉?jì)算及應(yīng)用不少的工具和方法。第4章矩陣分析是矩陣?yán)碚搶?duì)數(shù)學(xué)分析課程的推廣,介紹了范數(shù)理論、矩陣級(jí)數(shù)理論、矩陣函數(shù)與函數(shù)矩陣,這些內(nèi)容已廣泛應(yīng)用于諸多理論分析和工程問題。第5章廣義逆矩陣是矩陣?yán)碚撝斜容^現(xiàn)代的部分,主要介紹常見的4種廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應(yīng)用,并分析了正交投影矩陣與廣義逆矩陣之間的聯(lián)系。特別地,每章都單獨(dú)用一節(jié)來展開矩陣?yán)碚撗芯颗c應(yīng)用。比如,第1章陣論了多項(xiàng)式插值與多項(xiàng)式空間的基之間的關(guān)系;第2章研究了圖的矩表示問題;第3章將諸多應(yīng)用如線性方程組與線性常微分方程組求解、 矩陣特征值與逆矩陣的計(jì)算、正交投影與圖像壓縮等融入各種矩陣分解 中;第4章研究了主元分析法對(duì)數(shù)據(jù)降維的基本原理;第5章討論了廣義 逆矩陣在區(qū)間線性規(guī)劃中的應(yīng)用問題。這些內(nèi)容具有較強(qiáng)的針對(duì)性和應(yīng)用性,為進(jìn)一步理解矩陣的基本理論與方法,開展研究和解決工程問題提 供了重要案例。

在本書編寫過程中,考慮到授課的實(shí)際情況,將諸如投影與最佳逼近、Hermite矩陣、矩陣的 Kronecker積、線性矩陣方程等問題以片段或應(yīng)用的形式分散在一些章節(jié)中,希望讀者在閱讀過程中注意總結(jié)。

編者特別感謝北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院楊小遠(yuǎn)教授和王永革 副教授、自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院林巖教授和秦世引教授、蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院孫春友教授、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院李嬋穎研究員,他們給予編者很大的鼓勵(lì)和支持,并仔細(xì)審閱了全部書稿,提出了很 多寶貴意見和建議。 編者感謝北京化工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院張強(qiáng)副教授、北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院鐵林副教授和劉克新副教授,他們仔細(xì)審閱了全部書稿,并提出了很多有益的建議。感謝王宏偉、張書源、高燕姍、秦鴻宇、丁祥濤、梁錦威、田摯昆、段安娜等研究生協(xié)助編輯和校對(duì)書稿。

由于編者水平有限,書中難免存在謬誤與不當(dāng)之處,敬請(qǐng)批評(píng)、指正。 來信請(qǐng)寄:北京市海淀區(qū)學(xué)院路37號(hào) 北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院王磊。郵編:100191;電子郵箱:lwang@buaa.edu.cn。

編 者

2020年6月