本書(shū)從復(fù)數(shù)與點(diǎn)，向量的關(guān)系出發(fā)討論了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)。第二章，引入了復(fù)變函數(shù)的概念、極限、連續(xù)性和可導(dǎo)性以及本書(shū)的主要研究對(duì)象，推導(dǎo)出解析和可導(dǎo)的充要條件，然后舉例介紹幾類初等函數(shù)并探討它們的解析性。第三章，討論了復(fù)變函數(shù)的積分，然后介紹解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。第四章，研究了解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。第五章，介紹了特殊的奇點(diǎn)，并定義了孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，從留數(shù)的觀點(diǎn)重新計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分，另外介紹了留數(shù)定理在計(jì)算實(shí)積分中的應(yīng)用。第六章和第七章分別介紹了傅里葉變換和拉普拉斯變換，最后介紹了拉普拉斯變換在求解微分方程中的重要應(yīng)用。
以比較簡(jiǎn)明的內(nèi)容介紹復(fù)變函數(shù) ，本書(shū)做到了既不給讀者增加負(fù)擔(dān)，又能使讀者掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的梗概，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下較好基礎(chǔ)。
王恒太，南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院副教授。山東省泰安市人，2010年12月畢業(yè)于湖南大學(xué)，獲理學(xué)博士學(xué)位，主要研究李代數(shù)的結(jié)構(gòu)及表示理論，主要研究了嚴(yán)格上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)和Virasoro-like代數(shù)上的李triple導(dǎo)子的分解。朱暉，南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院講師，主要從事偏微分方程研究。
第一章復(fù)數(shù)與復(fù)平面1
§1.1復(fù)數(shù)2
§1.2復(fù)平面的點(diǎn)集7
§1.3擴(kuò)充復(fù)平面及其球面表示10
習(xí)題一11
第二章解析函數(shù)13
§2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性14
§2.2解析函數(shù)的概念19
§2.3復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件22
§2.4初等函數(shù)及其解析性25
習(xí)題二32
第三章復(fù)變函數(shù)的積分34
§3.1復(fù)積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法35
§3.2柯西古薩定理39
§3.3柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式45
§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系50
習(xí)題三53
第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法56
§4.1復(fù)數(shù)列與復(fù)級(jí)數(shù)57
§4.2冪級(jí)數(shù)61
§4.3解析函數(shù)的泰勒展開(kāi)65
§4.4解析函數(shù)的洛朗展開(kāi)70
習(xí)題四74
第五章留數(shù)理論及其應(yīng)用76
§5.1解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)77
§5.2留數(shù)的定義及計(jì)算82
§5.3留數(shù)在實(shí)積分計(jì)算中的應(yīng)用88
習(xí)題五94
第六章共形映射96
§6.1共形映射的定義97
§6.2分式線性映射100
§6.3冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的映射107
習(xí)題六110
第七章傅里葉變換112
§7.1傅里葉積分113
§7.2傅里葉變換的性質(zhì)117
§7.3 δ函數(shù)及其傅里葉變換121
§7.4卷積125
習(xí)題七126
第八章拉普拉斯變換128
§8.1拉普拉斯變換的定義129
§8.2拉普拉斯變換的性質(zhì)132
§8.3拉普拉斯逆變換138
§8.4拉普拉斯變換的應(yīng)用140
習(xí)題八143
附錄Ⅰ傅里葉變換簡(jiǎn)表145
附錄Ⅱ拉普拉斯變換主要公式表148
附錄Ⅲ拉普拉斯變換簡(jiǎn)表149
習(xí)題參考答案155
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