前　言
微分幾何是應(yīng)用微積分的理論研究空間幾何問題的數(shù)學(xué)分支,它以微積分作為主要工具研究平面和空間中曲線、曲面的幾何性質(zhì).微分幾何課程是數(shù)學(xué)類本科生在學(xué)完解析幾何、高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析等基礎(chǔ)課程后開設(shè)的一門綜合性課程,也是重要的專業(yè)課之一.微分幾何課程的內(nèi)容是經(jīng)典的,但它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法,以及運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識解決問題的方法,對于培養(yǎng)全面的數(shù)學(xué)人才是十分重要的.
本書選取了微分幾何課程中的20個(gè)教學(xué)知識點(diǎn),通過“問題提出、問題分析、知識構(gòu)建、問題解決、應(yīng)用拓展”的教學(xué)模式,對課堂教學(xué)行為進(jìn)行了精心設(shè)計(jì),力圖增強(qiáng)學(xué)生對概念的直觀認(rèn)識和對抽象內(nèi)容的理解,增加課程的趣味性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體會科學(xué)研究的規(guī)律、感受數(shù)學(xué)思維在科學(xué)研究中的指導(dǎo)性和重要性.最終提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果.
本書融合了編寫團(tuán)隊(duì)參加全國高校青年教師教學(xué)競賽的備賽成果,也是編寫團(tuán)隊(duì)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié).主編劉白羽以本書為基本素材于2020年參加了第五屆全國高校青年教師教學(xué)競賽,并獲得理科組一等獎(jiǎng).
編者特別感謝曹麗梅、李博通、何洋、傅雙雙、張林桐等多位老師在本書的編寫過程中提供的幫助.
本書是北京市教育工會授予的“北京高校青年教師示范教研工作室”的建設(shè)內(nèi)容之一,感謝北京市教育工會的資助和北京科技大學(xué)工會、教務(wù)處的支持.
由于編者水平有限,本書錯(cuò)漏之處在所難免,懇請讀者不吝指正.
編　者
教學(xué)設(shè)計(jì)總論
一、課程的一般信息
1.基本信息
課程名稱:微分幾何.
課程類別:數(shù)學(xué)專業(yè)必修課.
教學(xué)學(xué)時(shí):48學(xué)時(shí).
授課對象:數(shù)學(xué)專業(yè)大三本科學(xué)生.
先修課程:數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、常微分方程.
2.課程簡介
“微分幾何”是應(yīng)用微積分的理論研究空間幾何問題的數(shù)學(xué)分支,是數(shù)學(xué)類本科生在學(xué)完解析幾何、高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析等基礎(chǔ)課程后開設(shè)的一門綜合性課程,也是重要的專業(yè)課之一,對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和直覺能力都有很大的作用.它以微積分作為主要工具研究平面和空間中的曲線、曲面的局部及整體幾何性質(zhì),在研究的過程中理解并挖掘微積分的相關(guān)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力.通過“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合,幫助學(xué)生架起由初等幾何通往現(xiàn)代微分幾何的橋梁.隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展,大批功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件涌現(xiàn)出來,經(jīng)典理論和現(xiàn)代信息技術(shù)的結(jié)合為這門課程注入了新的活力,使其在自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用.
3.主要內(nèi)容
“微分幾何”課程的主要內(nèi)容由曲線論、曲面論和整體微分幾何初步三部分組成.本課程先介紹曲線或曲面的局部性質(zhì),這部分在講解基本概念、基本理論和基本方法的基礎(chǔ)上,著重于基本思維方法的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生思維的抽象性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.后續(xù)的整體微分幾何初步的內(nèi)容是以局部性質(zhì)為基礎(chǔ)來研究曲線和曲面的整體性質(zhì),進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理的能力.
本課程的重點(diǎn)是空間曲線和曲面論的基本概念、技巧、方法和理論.本課程的難點(diǎn)是抽象性及其用微積分解決幾何問題的方法.
4.教學(xué)意義
“微分幾何”課程是數(shù)學(xué)類本科生在學(xué)完數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程后開設(shè)的一門綜合性課程,是后續(xù)學(xué)習(xí)“微分流形”“黎曼幾何”等課程的先修課程,也是在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行理論研究和實(shí)踐工作的必要且重要的基礎(chǔ)課程.
微分幾何的教學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力,提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析、代數(shù)等工具來研究、解決幾何問題的能力,使學(xué)生初步接觸到現(xiàn)代幾何的思想和方法,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)及應(yīng)用打下基礎(chǔ).特別是微分幾何中應(yīng)用部分的教學(xué)、微分幾何中概念的實(shí)際背景的教學(xué),能夠幫助學(xué)生了解微分幾何的實(shí)際應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力,從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和綜合能力,為自覺地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)中的問題和以后的學(xué)習(xí)、工作打下基礎(chǔ).
二、學(xué)生的特點(diǎn)分析
1.知識基礎(chǔ)
本課程的對象為數(shù)學(xué)專業(yè)大三本科學(xué)生,他們通過前兩年對數(shù)學(xué)專業(yè)課程的學(xué)習(xí),完成了從中學(xué)到大學(xué)的過渡,并已掌握了必要的數(shù)學(xué)方法,具備了一定的數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng).本課程的先修課程為數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何以及常微分方程.
2.認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)風(fēng)格
通過兩年大學(xué)的學(xué)習(xí)和生活,大三的學(xué)生既具備了學(xué)習(xí)的心理?xiàng)l件又有較為充分的深入學(xué)習(xí)的心理準(zhǔn)備,他們的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情處于全盛時(shí)期,獨(dú)立學(xué)習(xí)能力日益增強(qiáng),這一階段的學(xué)生對于所學(xué)理論知識如何應(yīng)用于實(shí)際產(chǎn)生了濃厚的興趣,學(xué)以致用的意識不斷增強(qiáng),學(xué)習(xí)的專業(yè)要求進(jìn)一步明確,學(xué)生的專業(yè)方向逐步明晰,因此在授課過程中要根據(jù)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的課程發(fā)展需求,有意識地進(jìn)行引導(dǎo),如“是否存在完美的世界地圖”與如何度量曲面彎曲程度的問題、肥皂膜實(shí)驗(yàn)與極小曲面問題、從平面上的Crofton公式擴(kuò)展到球面上的Crofton公式等.為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和學(xué)習(xí)熱情,在課堂教學(xué)中應(yīng)注重理論應(yīng)用部分的展示,通過貼近生活的實(shí)際應(yīng)用案例,幫助學(xué)生深刻理解相關(guān)理論,深化“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合,開闊學(xué)生視野,真正達(dá)到“學(xué)以致用”的目的.
三、教學(xué)進(jìn)程設(shè)計(jì)
1.教學(xué)手段與教學(xué)模式
1)教學(xué)手段:動(dòng)態(tài)多媒體課件、數(shù)學(xué)軟件作圖、教具,板書和講解有機(jī)結(jié)合,將抽象思維同形