目錄
第二版前言
第一版前言
第1章 引論 1
1.1 微分方程的概念和實(shí)例 1
1.1.1 導(dǎo)出微分方程的一些實(shí)際例子 1
1.1.2 微分方程的概念 3
1.1.3 微分方程的發(fā)展 6
習(xí)題1.1 8
1.2 解的存在唯一性 9
1.2.1 例子和思路 10
1.2.2 存在唯一性定理及其證明 12
1.2.3 存在唯一性定理的說明及例子 16
習(xí)題1.2 20
1.3 一階微分方程的向量場 22
1.3.1 向量場 22
1.3.2 積分曲線的圖解法 26
習(xí)題1.3 28
復(fù)習(xí)題1 28
第2章 一階微分方程 32
2.1 線性方程 32
2.1.1 線性齊次方程 32
2.1.2 線性非齊次方程 33
2.1.3 Bernoulli方程 36
2.1.4 線性微分方程的應(yīng)用舉例 37
習(xí)題2.1 40
2.2 變量可分離的方程 42
2.2.1 變量可分離方程的求解 42
2.2.2 齊次方程 44
2.2.3 變量可分離方程的應(yīng)用 46
習(xí)題2.2 49
2.3 全微分方程 51
2.3.1 全微分方程的定義與充要條件 51
2.3.2 全微分方程的積分 54
2.3.3 積分因子 56
習(xí)題2.3 61
2.4 變量替換法 63
2.4.1 形如的方程 63
2.4.2 形如yf（xy）dx+xg（xy）dy=0的方程 64
2.4.3 其他變換舉例 65
2.4.4 Riccati方程 67
習(xí)題2.4 70
2.5 一階隱式微分方程 71
2.5.1 可解出x或y的方程與微分法 71
2.5.2 不顯含x或y的方程與參數(shù)法 75
2.5.3 奇解與包絡(luò) 78
習(xí)題2.5 80
2.6 近似解法 81
2.6.1 逐次迭代法 81
2.6.2 Taylor級數(shù)法 83
2.6.3 Euler折線法 85
習(xí)題2.6 88
2.7 一階微分方程的應(yīng)用 88
2.7.1 曲線族的等角軌線 89
2.7.2 放射性廢物的處理問題 91
2.7.3 我國人口的發(fā)展預(yù)測 92
習(xí)題2.7 94
復(fù)習(xí)題2 95
第3章 二階及高階微分方程 99
3.1 可降階的高階方程 99
3.1.1 不顯含未知函數(shù)x的方程 99
3.1.2 不顯含自變量t的方程 100
3.1.3 全微分方程和積分因子 101
3.1.4 可降階的高階方程的應(yīng)用舉例 102
習(xí)題3.1 108
3.2 線性微分方程的基本理論 109
3.2.1 線性微分方程的有關(guān)概念 109
3.2.2 齊次線性方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu) 111
3.2.3 非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) 117
習(xí)題3.2 120
3.3 線性齊次常系數(shù)方程 121
3.3.1 復(fù)值函數(shù) 121
3.3.2 常系數(shù)齊次線性方程 123
3.3.3 某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法 128
習(xí)題3.3 130
3.4 線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法 132
3.4.1 非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式的情形 132
3.4.2 非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)之積的情形 134
3.4.3 非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)之積的情形 135
習(xí)題3.4 138
3.5 高階微分方程的應(yīng)用 138
3.5.1 機(jī)械振動 138
3.5.2 RLC電路 142
習(xí)題3.5 145
復(fù)習(xí)題3 146
第4章 微分方程組 148
4.1 微分方程組的概念 148
4.1.1 微分方程組的實(shí)例及有關(guān)概念 148
4.1.2 函數(shù)向量和函數(shù)矩陣 152
4.1.3 微分方程組解的存在唯一性定理 156
習(xí)題4.1 158
4.2 微分方程組的消元法和首次積分法 160
4.2.1 微分方程組的消元法 160
4.2.2 微分算子與線性微分方程組 162
4.2.3 微分方程組的首次積分法164
習(xí)題4.2 167
4.3 線性微分方程組的基本理論 168
4.3.1 線性齊次方程組解的結(jié)構(gòu) 168
4.3.2 非齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu) 176
習(xí)題4.3 179
4.4 常系數(shù)齊次線性微分方程組 180
4.4.1 系數(shù)矩陣A有單特征根時的解 180
4.4.2 系數(shù)矩陣A具有重特征根時的解 185
4.4.3 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì) 192
習(xí)題4.4 198
4.5 常系數(shù)非齊次線性微分方程組 199
4.5.1 常數(shù)變易法 199
4.5.2 線性變換法 201
4.5.3 待定系數(shù)法 203
習(xí)題4.5 207
4.6 微分方程組應(yīng)用舉例 208
4.6.1 兩個彈簧和物體的豎直運(yùn)動 209
4.6.2 復(fù)雜電路的計(jì)算 210
4.6.3 人造衛(wèi)星的軌道方程 211
習(xí)題4.6 216
復(fù)習(xí)題4 217
第5章 非線性微分方程組 221
5.1 非線性方程研究的例子與概念 221
5.1.1 例子 221
5.1.2 自治微分方程與非自治微分方程、動力系統(tǒng) 223
5.1.3 基本定義 225
習(xí)題5.1 231
5.2 自治微分方程組解的性質(zhì) 231
5.2.1 自治系統(tǒng)軌線的特點(diǎn) 232
5.2.2 自治系統(tǒng)解的基本性質(zhì) 234
習(xí)題5.2 237
5.3 平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及相圖 238
5.3.1 幾個線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖 239
5.3.2 平面線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn) 242
習(xí)題5.3 248
5.4 幾乎線性系統(tǒng)解的穩(wěn)定性 250
5.4.1 平面幾乎線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 250
5.4.2 高維幾乎線性微分方程組的穩(wěn)定性 257
習(xí)題5.4 260
5.5 Lyapunov第二方法 262
5.5.1 定號函數(shù) 262
5.5.2 穩(wěn)定性基本定理 263
5.5.3 穩(wěn)定性定理的幾何意義 267
5.5.4 二次型形式的V函數(shù) 267
習(xí)題5.5 268
5.6 二維自治微分方程組的周期解和極限環(huán) 270
5.6.1 周期解與極限環(huán) 270
5.6.2 極限環(huán)的存在性 273
5.6.3 極限環(huán)的不存在性 274
5.6.4 極限環(huán)的穩(wěn)定性 275
習(xí)題5.6 276
復(fù)習(xí)題5 276
第6章 Maple簡介與應(yīng)用 279
6.1 Maple的基本功能 279
6.1.1 Maple的工作環(huán)境 279
6.1.2 Maple的基本運(yùn)算 280
6.1.3 多項(xiàng)式 282
6.1.4 轉(zhuǎn)換為其他語言 282
6.2 微積分運(yùn)算 283
6.2.1 極限和連續(xù) 284
6.2.2 導(dǎo)數(shù)和極值 284
6.2.3 積分 285
6.2.4 級數(shù)和積分變換 286
6.3 線性代數(shù) 287
6.3.1 矩陣的建立和基本運(yùn)算 287
6.3.2 矩陣的初等變換和線性方程組求解 288
6.3.3 矩陣的特征值、特征向量和相似 290
6.4 圖形 291
6.4.1 二維圖形 291
6.4.2 三維繪圖 293
6.4.3 動畫 295
6.5 方程求解 297
6.5.1 代數(shù)方程 297
6.5.2 常微分方程求解 298
6.5.3 微分方程的向量場 301
6.6 Maple編程 302
6.6.1 子程序 302
6.6.2 幾種常用的程序結(jié)構(gòu) 303
6.6.3 Maple在微分方程中的應(yīng)用舉例 304
參考文獻(xiàn) 308