與偏重理論體系完整、推理嚴謹的理科教材不同，《應用常微分方程（科學版）》側重從應用的需要出發(fā)介紹常微分方程的理論和方法，力求概念準確清晰，理論有據，方法實用，并將這些方法和數值計算、微分方程建模結合起來�！稇贸Ｎ⒎址匠蹋ǹ茖W版）》突出了非線性常微分方程與線性微分方程，隱式微分方程與顯式微分方程的差異，介紹了分支、混沌等非線性問題中的特有現象，有助于理解非線性問題的復雜性，在線性微分系統(tǒng)的求解中，吸收作者的科研成果，用微分算子法作為求解的普遍方法，用算子多項式分解及算子矩陣的伴隨陣，將微分算子法用于變系數高階線性方程和常系數線性微分系統(tǒng)的通解計算，書中有大量計算示例和模型構建實例，可以對方法的掌握起到導引作用。
《應用常微分方程（科學版）》可供需要學習常微分方程理論的工科高年級學生和研究生作為教材或閱讀之用，也可供教師、科研人員及理科學生參考。
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本書是一本為工科高年級學生和研究生學習常微分方程而撰寫的教材，以理論有據、方法通用、聯系實際為目標，因此，書中對常微分方程的基本定理給出了數學的論證，而對這些原理的更深層次的數學基礎引而不證；對方程求解除了傳統(tǒng)的初等積分方法外，還介紹了數值解的方法和數學軟件的使用；結合實際問題討論了建立常微分方程模型的原則，考慮到多數工科學生初學時對純數學推導會不很適應，建議對第1章中的基本定理以理解定理的條件和結論為主，在學過本書后再回到1.3節(jié)體會證明的方法和要點。
常微分方程是理科學生，尤其是數學類專業(yè)學生的一門必修課程。同時，由于常微分方程與實際問題聯系密切，隨著科學技術的發(fā)展，多數工科學生也需要掌握常微分方程的基本理論和方法，以便從理論上提升實驗或經驗成果。
迄今為止，國內外為理科學生編寫的教材為數眾多，但適合工科學生的教材寥寥無幾。這兩類教材包含相同的核心內容，即常微分方程的基本理論和方法，但前者側重于理論的縝密、完整和深入；后者更關注理論與實際的結合，偏重于方法的運用。
鑒于此，本書是一本為工科高年級學生和研究生學習常微分方程而撰寫的教材，以理論有據、方法通用、聯系實際為目標。因此，書中對常微分方程的基本定理給出了數學的論證，而對這些原理的更深層次的數學基礎引而不證；對方程求解除了傳統(tǒng)的初等積分方法外，還介紹了數值解的方法和數學軟件的使用；結合實際問題討論了建立常微分方程模型的原則�？紤]到多數工科學生初學時對純數學推導會不很適應，建議對第l章中的基本定理以理解定理的條件和結論為主，在學過本書后再回到1.3節(jié)體會證明的方法和要點。
全書分5章、第1章講授常微分方程的概念和基本定理。第2章在介紹微分算子相關運算的基礎上，討論線性微分方程和線性微分系統(tǒng)通解的構成，講解用算子法解齊次和非齊次系統(tǒng)的方法。第3章講授非線性微分方程和系統(tǒng)，除一階方程的求解外，重點討論因非線性而產生的解的非唯一性、分支和混沌現象。第4章講授微分方程數值解。第5章講解建立常微分方程數學模型的原則和過程。數學軟件的應用分散在第2-5章，結合各類求解方法的講授而作簡要介紹。
書末的附錄給出了常系數高階齊次線性微分系統(tǒng)基本解組中線性無關解的個數，討論了非齊次系統(tǒng)的可解性和初值問題的提法。其中線性無關解個數的論證，實際給出了尋求基本解組的途徑。
本書的出版得到了北京理工大學研究生院的資助，謹致謝意。
書中疏漏不當之處，敬請專家、讀者指正。
目錄
前言
第1章 基本概念、預備知識及基本定理 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 常微分方程 1
1.1.2 常微分方程的來源 3
1.1.3 常微分方程的解 6
1.1.4 常微分方程的求解途徑及任意常數的出現與確定 10
1.1.5 常微分方程的應用 18
1.2 預備知識 23
1.2.1 范數及運算關系 23
1.2.2 函數向量組的線性相關 24
1.2.3 函數向量，函數矩陣及函數行列式的求導 26
1.2.4 不動點定理 28
1.2.5 隱函數定理 31
1.2.6 Gronwall不等式 34
1.3 基本定理 36
1.3.1 Peano存在定理 37
1.3.2 Picard定理 41
1.3.3 比較定理 44
1.3.4 解對初值和參數的連續(xù)依賴 50
第2章 線性微分方程和微分系統(tǒng) 54
2.1 微分方程和微分系統(tǒng)解的結構 55
2.1.1 微分算子多項式 56
2.1.2 線性微分系統(tǒng)解的結構 61
2.2 微分方程和微分系統(tǒng)齣求解 68
2.2.1 求解一階線性微分方程 68
2.2.2 求解高階線性微分方程的一般法則 72
2.2.3 常系數高階線性方程的求解 78
2.2.4 Euler方程 84
2.2.5 幾類變系數二階線性微分方程 87
2.2.6 常系數線性微分系統(tǒng)的求解 90
2.3 線性微分方程及系統(tǒng)的應用 108
2.3.1 數學解揭示的運動特點 108
2.3.2 線性微分方程和線性微分系統(tǒng)的應用 114
2.4 用數學軟件解線性微分系統(tǒng) 117
2.4.1 MATLAB的指令表示 118
2.4.2 MATLAB解微分系統(tǒng)的示例 121
第3章 非線性方程和非線性系統(tǒng) l24
3.1 非線性方程的求解 124
3.1.1 階顯式微分方程的求解 124
3.1.2 階隱式方程的求解 138
3.2 非線性微分系統(tǒng)的定性分析 150
3.2.1 解的穩(wěn)定性 150
3.2.2 自治微分系統(tǒng)的定常解和平衡點 155
3.2.3 平面微分系統(tǒng)平衡點的指標 156
3.2.4 平面微分系統(tǒng)的周期解和極限環(huán) 159
3.3 分支和混沌 165
3.3.1 分支 165
3.3.2 混沌 171
3.4 用數學軟件解非線性系統(tǒng) 176
3.4.1 用數學軟件解微分系統(tǒng)和作圖 176
3.4.2 示例 181
第4章 微分方程數值計算和數學軟件 185
4.1 常微分系統(tǒng)數值逼近和誤差分析 186
4.1.1 Euler法 186
4.1.2 線性多步法 194
4.1.3 Runge-Kutta法 214
4.2 剛性方程組的數值計算 227
4.2.1 剛性方程組的特點和數值方法的A穩(wěn)定性 227
4.2.2 隱式Runge-Kutta法和B穩(wěn)定性 239
4.3 數學軟件在數值計算中的應用 248
4.3.1 數值方法的MATLAB程序實現 248
4.3.2 用MATLAB庫函數求解常微分系統(tǒng) 254
第5章 微分方程模型的建立與求解 260
5.1 建立模型的原則與基本方法 260
5.1.1 數學模型 260
5.1.2 建立微分方程模型的原則 261
5.1.3 建模步驟 263
5.1.4 建模的方法 265
5.2 微分方程模型的求解 270
5.2.1 設定條件求解析解 270
5.2.2 設定條件求數值解 280
5.3 微分方程模型的實例 283
部分習題參考答案 289
參考文獻 296
附錄 常系數齊次線性微分系統(tǒng)的基礎解系 297
索引 317
后記 320
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