本書共分六章,第一章線性代數(shù)概要與提高,總結了后續(xù)章節(jié)需要的線性方程組和矩陣的基本知識,給出了矩陣與線性方程組的幾個應用實例;第二章矩陣與線性變換,討論了子空間與直和分解及內(nèi)積空間,詳細研究了線性變換與矩陣的關系,簡要介紹了構造新線性空間的幾種方法,例舉了子空間,正交性,線性變換,張量積等的應用;第三章特征值與矩陣的Jordan標準形,證明了Schur三角化定理與Cayley-Hamilton定理,給出了矩陣在相似變換下的最簡形式即Jordan標準形,討論了特征值估計的蓋爾圓盤定理,介紹了特征值與特征向量在統(tǒng)計學和經(jīng)濟學中的一些應用。
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目錄
前言
本書導讀
主要符號表
第一章 線性代數(shù)概要與提高 1
引言 線性代數(shù)是什么 1
第一節(jié) 矩陣乘法與分塊矩陣 2
第二節(jié) 線性方程組與n維線性空間 7
第三節(jié) 特征值與矩陣的相似對角化 12
第四節(jié) 線性空間 14
第五節(jié) 內(nèi)積空間與正定二次型 19
第六節(jié) 應用:網(wǎng)絡流、投入產(chǎn)出模型、隨機變量的獨立性 26
習題一 29
第二章 矩陣與線性變換 35
引言 矩陣是什么 35
第一節(jié) 子空間:直和與空間分解 35
第二節(jié) 矩陣與線性變換 41
第三節(jié) 內(nèi)積空間的正交分解 54
第四節(jié) 內(nèi)積空間中的線性變換 60
第五節(jié) 張量積與商空間:構造新線性空間 66
第六節(jié) 應用:擬合曲線、移動通信、濾波、線性矩陣方程 76
習題二 81
第三章 特征值與矩陣的Jordan標準形 87
引言 如何計算矩陣的高次幕 87
第一節(jié) Schur三角化定理:化簡矩陣的基礎 87
第二節(jié) Jordan標準形:復數(shù)矩陣的一種最簡形式 96
第三節(jié) Jordan標準麵計算 100
第四節(jié) 蓋爾圓定理:特征值的估計 104
第五節(jié) 應用:主元分析法、商品定價 111
習題三 115
第四章 正規(guī)矩陣與矩陣的分解 122
引言 矩陣如何快速計算 122
第一節(jié) 正規(guī)矩陣 122
第二節(jié) 正規(guī)矩陣的譜分解 126
第三節(jié) 矩陣的三角分解與Cholesky分解 133
第四節(jié) 矩陣的QR分解 136
第五節(jié) 矩陣的奇異值分解與極分解 138
第六節(jié) 應用:最小二乘法、圖像壓縮、子空間的交 143
習題四 146
第五章 矩陣函數(shù)及其微積分 151
引言 怎樣討論矩陣的微積分 151
第一節(jié) 向量與矩陣的范數(shù) 152
第二節(jié) 矩陣序列與矩陣級數(shù) 161
第三節(jié) 矩陣函數(shù)的導數(shù)與積分 169
第四節(jié) 矩陣函數(shù)的計算 174
第五節(jié) 自變量為矩陣的函數(shù)的導數(shù)及應用 179
第六節(jié) 應用I:線性常微分方程 187
第七節(jié) 應用II:線性系統(tǒng)的可控性與可測性 195
習題五 201
第六章 廣義逆矩陣 207
引言 不可逆矩陣的逆矩陣 207
第一節(jié) 投影矩陣與Moore-Penrose廣義逆矩陣 208
第二節(jié) Moore-Penrose廣義逆矩陣的計算 214
第三節(jié) 矩陣的{1}-廣義逆 217
第四節(jié) 矩陣的{1,3}-逆與{1,4}-逆 223
第五節(jié) 應用:線性方程組、流量矩陣估計 226
習題六 231
附錄 235
主要參考書目 238
漢英名詞索引 239
精彩頁