我們希望《中學數(shù)學思想方法（第2版）》能對數(shù)學活動的一般規(guī)律；對領悟數(shù)學精神、思想和方法，建立正確的數(shù)學觀和數(shù)學教育觀；對中學數(shù)學教學研究，提高教師的教學水平和研究水平，改進學生的學習、提高學業(yè)成績、提高數(shù)學素質(zhì)、培養(yǎng)智能型、創(chuàng)新型人才起到積極的推動作用。
第一章 數(shù)學思想方法簡介§l.l 如何認識數(shù)學思想方法
二、解析法與綜合法的比較 我們知道，中學幾何中的綜合法是處理幾何問題的一種常用方法，它借助圖形的直觀形象，依據(jù)基本的邏輯原理（同一律、矛盾律、排中律等），不使用其他工具，從基本事實（公設、公理）出發(fā)，通過演繹推理，導出一系列定理和結論。而解析法是通過建立坐標系，把幾何中的點與代數(shù)的基本研究對象數(shù)（數(shù)組）對應，建立圖形（曲線）與方程的對應，從而把幾何與代數(shù)緊密結合起來，用代數(shù)方法解決幾何問題。 相比之下，用綜合法解決問題時有其形象直觀、便于思考等好處，但是因為綜合法要依賴于圖形及其幾何性質(zhì)，因此，也有其不便之處：一是對有些問題要分情況證明。例如證明“三角形三條高交于一點”這一問題，就需分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況證明，而解析法的證明由于字母可以代表各種情形的數(shù)，所以對直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況可以統(tǒng)一處理而不必加以區(qū)分。其二是綜合法需要很強的技巧，缺乏規(guī)律性，尤其是在處理一些較為復雜的問題時，關鍵往往是要添加輔助線才能證明。顯然，添加輔助線的思考難度是很大的，因題而異，技巧性強，沒有普遍可用的方法。而解析法有固定的程序和方法，具有普適性和一般性。其關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼�，把幾何元素用坐標表示，進而把幾何條件用坐標關系給出，經(jīng)過代數(shù)運算，得到結果，再解釋結果的幾何意義。當然，解析法也有其不足的地方，對于某些問題，雖然有思路可循，步驟清楚，但計算量大，比較煩瑣，甚至得不到結果。 因此，要善于把兩種方法結合起來使用。在用解析法解決幾何問題時，要善于利用幾何中的結論；在用綜合法解決幾何問題時，也可結合解析法處理，并有意識、有計劃地安排相應的問題，要求學生對兩種方法進行比較，比較利弊，提高他們解決問題的能力。 此外，我們還應認識到解析法的功用，不僅是為幾何問題的研究和問題解決提供了一種方法，而且是為研究自然現(xiàn)象提供了數(shù)學工具——通過方程來研究物體運動的軌跡曲線，為用微積分研究自然現(xiàn)象準備了條件，這是綜合法與之無法相比的。 莫紹揆生動、形象地把綜合法比作“乘公共汽車”，把解析法比作“乘地鐵”，意指乘公共汽車雖然慢一些，但是可以一覽沿途的景致，地鐵雖快，但完全看不到地面上沿途的景致，只有等到達目的地后才能走上地面。 最后，我們還是要強調(diào)，解析法的靈魂是數(shù)形結合，對此，已在第五章中作了相關分析，不再贅述。 9.3教學設計案例 這里我們要給出的是一個立體幾何的教學設計案例。首先針對幾何課程設計中存在的一些問題作簡要的分析，然后給出“直線與平面垂直的判定”這一內(nèi)容的教學設計。 9.3.1幾何課程教學設計應關注的問題 關于幾何課程的教學設計，需要關注三個問題：一要注意幾何直觀與數(shù)學學習的關系，幾何課程不僅僅是培養(yǎng)邏輯思維的良好載體，而且是一種思維方式，這種幾何直觀的思維方式滲透到數(shù)學的所有分支，對于數(shù)學學習起到基礎的作用。 ……
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